證法一：運用同一法證三條高兩兩相交的交點是同一點。
已知：△abc的兩條高be、cf相交於點o，第三條高ad交高bd於點q，交高cf於點p。
求證：p、q、o三點重合
證明：如圖，∵be⊥ac，cf⊥ab
∴∠aeb = ∠afc = 90°
又∵∠bae = ∠caf
∴△abe ∽ △acf
∴，即ab·af = ac·ae
又∵ad⊥bc
∴△aeq ∽ △adc，△afp ∽ △adb
∴， 即ac·ae = ad·aq，ab·af = ad·ap
∵ab·af = ac·ae，ac·ae = ad·aq，ab·af = ad·ap
∴ad·aq = ad·ap
∴aq = ap
∵點q、p都**段ad上
∴點q、p重合
∴ad與be、ad與cf交於同一點
∵兩條不平行的直線只有乙個交點
∴be與cf也交於此點
∴點q、p、o重合。
證法二：鏈結一頂點和兩高交點的線垂直於第三邊，用四點共圓性質。
已知：△abc的兩條高ad、be相交於點o，第三條高cf交高ab於點f，鏈結co交ab於點f。
求證：cf⊥ab。
證明:∵ad⊥bc於e，be⊥ac於e
∴a、b、d、e四點共圓
∴∠1＝∠abe
同理∠2＝∠1
∴∠2＝∠abe
∵∠abe+∠bac＝90°，
∴∠2+∠bac＝90°
即cf⊥ab。
注：證法一和證法二是證明共點線的常用方法。
證法三：證兩條高的交點在第三條高線上，建立直角座標系運用代數方法證明。
證明：如圖6，以直線bc為x軸，高ad為y軸，建立直角座標系，設a(0 , a) , b(b , 0) , c(c , 0),由兩條直線垂直的條件
則三條高的直線方程分別為：
解（2）和（3）得 ∴
這說明be和cf得交點在ad上，所以三角形的三條高相交於一點。
注：有時候考慮直角座標系這一有力的數形結合工具可以有效地解決問題。
證法四：轉化為證明另乙個三角形的三條中垂線（或中線）交於一點。
已知：ad、be、cf是△abc的三條高。
求證：ad、be、cf相交於一點。
證明：過點a、b、c分別作bc、ac、ab的平行線ml、mn、nl
am∥bc，mb∥ac
四邊形ambc是平行四邊形
am＝bc
同理，al＝bc
am＝al
ad⊥ml
∴ad是ml的垂直平分線
同理，be、cf分別是mn、nl的垂直平分線
而三角形的三條垂直平分線相交於一點
ad、be、cf相交於一點。
注：三角形的三條中線（可中垂線、角平分線）相交於一點，這事實學生容易理解，也不難證明，把證明三角形的三條垂線相交於一點的問題轉化為另一三角形的三條中線（中垂線）相交於一點，這種化陌生為熟悉、化難為易的轉化方法必須讓學生理解掌握。
證法五：運用錫瓦（ceva）定理證明。
已知：ad、be、cf是△abc的三條高。
求證：ad、be、cf相交於一點。
證明：如圖，∵ad⊥bc於e，be⊥ac於e
∴△abd ∽ △cbf
1）同理，由△adc ∽ △bec得
2）由△afc ∽ △aeb
3）三式相乘得
即∴ad、be、cf相交於一點。
注：錫瓦定理是證明共點線的有力工具，雖然中學不作要求，但對於學有餘力的學生不妨引導他們自己研究，激發他們的學習興趣。
錫瓦定理可以用梅涅勞（menelaus）定理證明，而梅涅勞定理可以由平行線分線段成比例定理輕鬆得到。在適當情況下適當的啟發有利於學生思維的擴散，有利於培養學生的創新能力。
在三角形中兩個角的角平分線交於一點，證明第三個角的角平分線也交於這一點。
巧用習題證明三角形三條內角平分線交於一點
問題 在學習平面向量一章中，有這樣乙個習題，題目敘述如下 在 abc中，如果點p為 abc的內角 a的平分線上任意一點，那麼ap ab ab ac ac r 證明 如圖，設ab 1 ab ab ac 1 ac ac 有 ab 1 ac 1 1，b 1ad c 1ad,ad是公共邊有 ab 1d ac...
三角形三條邊的關係教學反思
三角形三邊的關係 是四年級下冊 三角形 中的一課，該課時是在學生初步了解了三角形的定義的基礎上，進一步研究三角形的特徵，即三角形任意兩邊的和大於第三邊。三角形三邊關係定理不僅給出了三角形三邊之間的大小關係，更重要的是提供了判斷三條線段能否組成三角形的標準,熟練靈活地運用三角形的兩邊之和大於第三邊，是...
三角形證明
21.如圖，等腰梯形abcd中，ad bc,ad ab cd 2,c 600,m是bc的中點。1 求證 mdc是等邊三角形 2 將 mdc繞點m旋轉，當md 即md 與ab交於一點e,mc即mc 同時與ad交於一點f時，點e,f和點a構成 aef.試 aef的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理...