第十講數學的結構與統一性
杜乃林副教授 （武漢大學數學與統計學院）
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數學與哲學
對比一下數學史與哲學史，會發現有一點明顯的不同。
數學家在前人工作的基礎上工作，他們總是用自己的新建築使前人的工作顯得更加完滿、更加鞏固。數學家總是在承認別人工作的基礎上新增自己的一頁。
哲學家也在前人工作的基礎上工作，但是他們總是要摧毀前人的建築，用自己的工作證明別人是錯的。哲學家總是在批判別人觀點的同時，寫出自己的一頁。
哲學在反覆地破舊立新中成長。數學在不斷的建設中發展。
哲學曾經把整個宇宙作為自己的研究物件；那時，它包羅永珍，而數學只不過是算術和幾何而已。
17世紀，自然科學的大發展使哲學退出了一系列研究領域，哲學的中心問題從「世界是什麼樣的」變成「人怎樣認識世界」。這個時候，數學擴大了自己的領域，它開始研究運動與變化。
今天，數學在向一切學科滲透，它的研究物件是一切模式，形成乙個乙個的抽象結構——希望概括所有可能的關係與形式。可是西方現代哲學此時卻把注意力限於意義的分析，把問題縮小到「人能說出些什麼」。
哲學應當是人類認識世界的先導，哲學關心的首先應當是科學的未知領域。
哲學家談論原子在物理學家研究原子之前，哲學家談論元素在化學家研究元素之前，哲學家談論無限與連續在數學家說明無限與連續之前。
一旦科學真真實實地研究哲學家所談論過的物件時，哲學沉默了。它傾聽科學的發現，準備提出新的問題。
哲學，在某種意義上是望遠鏡，它被用於觀察前方。
數學則相反，它最容易進入已獲得足夠豐富事實的半成熟或成熟的科學，能夠提出規律性或前瞻性的假設，有力推動科學研究沿著正確方向深入開展下去。它好像是顯微鏡，對研究物件作精細觀測和分析。
哲學從一門學科退出，意味著這門學科的誕生。數學滲入一門學科，甚至控制一門學科，意味著這門學科達到了成熟的階段。
哲學的地盤縮小，數學的領域擴大，這是科學發展的結果，是人類智慧型的勝利。
但是，宇宙的奧秘無窮。向前看，望遠鏡的視野不受任何限制。新的學科將不斷湧現，而在它們出現之前，哲學有許多事情可做。
面對著浩渺的宇宙和人類的種種困難問題，哲學已經放棄的和數學已經占領的，都不過是滄海一粟。
哲學在任何具體學科領域都無法與該學科一爭高下，但是它可以從事任何具體學科無法完成的工作，它為一門具體學科的誕生準備條件。
數學在任何具體學科領域都有可能出色地工作，但是離開具體學科之後無法做出貢獻。它必須利用具體學科為其創造條件。
哲學與數學——人類的望遠鏡與顯微鏡。
數學是統一的嗎？
數學歷經2500多年漫長歲月的累積性發展，使之演變成為今天這樣的由無數枝繁葉茂的大樹構成的森林。它擁有十多個大的分科：代數、數論、幾何、拓撲、函式論、微分方程、泛函分析、計算方法、概率論、數理邏輯、運籌學、圖論、模糊數學……這些分科又分為多達數百的分支。
數學每年產生幾萬篇**，經常提出新概念、新定理，形成新分支。這一切使人眼花繚亂。
數學的各個部分是相互聯絡相互支援的，由於各部分相互溝通、相互促進，而使其發展越來越迅速，並呈現出五光十色、氣象萬千的景象。
人們不禁要問：數學究竟是一門科學，還是一類科學？
歷史上，哲學家與數學家很早就試圖把數學統一起來，那時數學要比今天簡單的多。在畢達哥拉斯時代，只有算術和幾何。畢達哥拉斯做了第一次嘗試，試圖把數學統一於自然數。
這次嘗試由於無理數的發現而以失敗告終。
以後相當長的時間裡，人們寄希望於幾何，希望把數學統一於歐幾里得幾何。最後發現，連幾何也是不統一的，人們的希望又破滅了。
萊布尼茲、弗雷格和羅素都希望把數學統一於邏輯，使龐大的、複雜的、內容豐富的數學歸結為非常通俗的、直觀的、易於洞察的邏輯，結果匯出了極不通俗、極為複雜而令人難以洞察的層次理論和可化歸公理。
直覺主義流派的布勞爾和形式主義流派的希爾伯特，又希望數學統一於算術。結果，連算術也不是統一的——這是哥德爾定理的推論。
最後，數學家和邏輯學家寄希望於把數學統一於康托開創的集合論。但是，哥德爾和庫恩對選擇公理的研究成果表明，集合論自身就是難於統一的。
在經過這些試圖把數學統一起來的努力都失敗之後，數學反倒變得更加生機勃勃，更加豐富多彩，更加多樣化了。數學不斷地用新成果使自己壯大，不斷地修改著、改組著自己的理論而生出新的分支，以致使人產生一種感覺：數學不是具有統一物件和統一方法的科學，而是一系列建立在區域性的、相互之間有千絲萬縷聯絡的精確確定的概念之上的學科。
法國的布林巴基學派提出了與此相反的觀點。他們認為：別看外部現象是多麼光怪陸離、五光十色，其實，數學由於內部的進化，比任何時候都鞏固了它的各部分的統一，並且建立起比任何時候都更加有聯絡的整體，形成了數學所特有的**的核心。
他們認為：數學的各種理論之間的關係是可以系統化的，可以用「公理方法」作統一的總結。
布林巴基不是乙個人，它是乙個集體的筆名。這個集體最初的成員是巴黎師範學院的一群大學生。在四十多年間，布林巴基的成員在新陳代謝地變化著，然而努力的方向始終一致。
怎樣用公理方法把數學看成乙個統一的學科呢？
數學的基本結構
數學的表面特徵是一連串的推理。
每種數學理論都由一串串推理的長鏈構成，可以說，演繹推理是數學的特點。
能不能說演繹推理就是數學的統一基礎呢？
這樣說不能說是錯的，但是太膚淺。演繹推理是一種方法，一種把思想和思想聯結起來的工具。數學家可以用，別的科學家也可以用。
就像實驗的方法，生物學家可以用，物理學家也可以用。我們能把生物學與物理學統一為一門學科嗎？
同理，不能僅僅因為各個數學分支都使用演繹推理的方法，就宣稱數學是統一的，應當看到數學推理的長鏈背後還有更本質的東西。這種更本質的東西，真正反映了數學的什麼特點呢？布林巴基學派稱之為「結構」。
數學研究的物件，慢慢地顯露出了它的輪廓。它研究結構——從不同的模式中、系統中抽象出來的共同結構。
首先是集合。集合好像是一片空地、一張白紙、一群沒有分派角色的演員。一旦在集合的元素之間引進關係，集合的元素就有了自己的個性，根據關係的性質，集合上開始出現結構。
結構不是人主觀上隨意指派的，也不是在理念世界永恆存在的，它是總結大量感性經驗上公升為概念的結果。
布林巴基學派認為，數學研究的基本結構，即母結構，有三種：一種叫做代數結構。集合上有了運算，能夠從兩個元素生出第三個來，就叫做有了代數結構。
一種叫序結構。集合中某些元素之間有先後順序關係，就叫做有了序結構。還有一種叫做拓撲結構。它用來描述連續性、分離性、附近、邊界等這些空間性質。
三種基本的數學結構恰好是現實世界的基本關係與形式在我們頭腦中的反映：
代數結構——運算——來自數量關係；序結構——先後——來自時間觀念；拓撲結構——連續性——來自空間經驗。
然而，這些東西一旦抽象成數學概念，成為脫離具體內容的「結構」，它們就可以用到任何有類似性質的系統之中，而不一定與時、空、數有關了。
乙個系統可以具有幾種結構。例如實數系，它有加減與乘除，這構成了兩種有聯絡的代數結構，它的元有大小之分，這構成它的序結構，它的連通性則體現了其拓撲結構。
基本結構可以加上一些公理派生出子結構，兩種以上的結構可以加上結合條件（又稱相容條件）產生出復合結構。例如，對於實數，如果a>b，則a+c>b+c；這表明代數結構與序結構是相容的。
通過結構的變化、復合、交叉，形成形形色色的數學分支，表現為氣象萬千的數學世界。
關於數學的結構觀
有了結構的思想觀點，當數學家遇到新的研究物件時，他自然而然地會想，所遇到的事物能不能放到某個已知的結構之中？如果可以，便馬上動用這個結構的全部已知性質作為克敵制勝的**。
歷史上有過這樣的例子：數學家長期不能理解複數，把它叫做虛數。後來發現，複數可以用平面上的點表示，這個發現相當於把複數的代數結構與平面的拓撲結構掛上了鉤。
複數的研究立即有了實際意義，找到了應用，獲得了飛速發展。這表明，把新的陌生物件納入已知的結構之中是多麼的重要。
布林巴基學派承認，把數學看成研究各種結構——這些結構以幾種母結構為骨架不斷地生長和發展——的科學，仍然是對數學現狀的粗略的近似。結構觀點是針對數學整體的概括性觀點，可是數學中的確還有一些有特色的內容無法由已知的基本結構加以規範，這些內容也可能是很重要的。例如，數論中的大量孤立問題，就很難與已知的結構很好地聯絡起來。
布林巴基學派也主張，結構不應當是靜止的，數學的發展可能會發現新的重要基本結構。因為數學是一門對外開放的生命力旺盛的學科，對其不能「蓋棺論定」，不會有終極真理。
總的說來，布林巴基學派把數學統一到結構的觀點上，是符合辯證唯物主義認識論的。因為：它否認了數學知識的先驗觀點，主張結構**於人們的實踐經驗，正確地描述了數學中結構概念的抽象形成過程；它用整體的觀點看數學，著眼於數學各部門的內在聯絡，說明什麼使數學統一起來並使它有多樣性；它用發展變化的觀點看數學，主張結構不是一成不變的；它主張數學的真理性最終要用科學的實踐來檢驗，用科學上的成功經驗支援結構觀點。
結構觀的形成過程與啟示
結構觀點的產生，不是偶然的。布林巴基學派自己指出，這是半個多世紀以來（即從19世紀末期到20世紀中期）數學進步的結果。其實也可以說是兩千多年數學進步的結果。
公理方法從歐幾里得開始，到了非歐幾何產生之後，數學家開始有了現代的公理化觀點。這種方法，經過第三次數學危機的考驗，特別是由於形式主義學派的領袖希爾伯特的大力提倡，已在數學實踐中生根、開花、結果，終於更上一層樓，形成了「結構」的觀念。
一開始，人們追求公理系統的相容性和完備性。也就是說，在公理系統中，不能有兩個相互矛盾的命題同時為真（這是相容性要求），以及任何乙個命題的成立與否，必能加以判定（這是完備性要求，它曾是希爾伯特的堅定「信念」）。後來，人們研究發現，對一般的公理系統來說，相容性與完備性是相互矛盾的要求，兩者不可兼得！
於是，數學家們終於認識到，公理化的數學系統，相容性當是起碼要求，而完備性要求則必須放棄。這意味著，一般的數學系統，總有不可判定真假的命題。更有意味的是，公理系統的不完備性並不是壞事，而是好事。
公理是對所研究物件的限制，限制越多，研究面越窄。因此，公理系統不完備，意味著系統尚可容納更豐富的物件，意味著研究結果可適用於更廣的範圍。
在這種認識的啟迪下，數學家們研究了許多不完備的公理系統，例如，群、環、域、線性空間、拓撲空間、測度論、概率論等等。數學實踐證明，對不完備性系統的研究有強大的生命力，它促使人們對公理系統進行分解，分解成一些更基本——更不完備的公理系統，這終於促成了結構觀點的出現。
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