第四講有限無限縱橫談（三）
杜乃林副教授 （武漢大學數學與統計學院）
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§2.6 自然數系有限集與無限集
人類在進化的蒙昧時期，就已經有一種才能，這種才能姑且稱作「數覺」。由於人有了這種才能，當在乙個小的集合裡邊增減一樣東西的時候，儘管他未曾知道增減已經發生，他也能覺察到其中的變化。這種原始數覺，許多權威動物學家認為，少數幾種鳥類和蜂類也具有。
注意，依靠數覺，普通文明人可以分辨的數目很少能超過四。
應該承認，這種比鳥類高明不了多少的原始數覺，就是產生 「數」概念的核心——「0」 、「1」和「2」三個數目的先驗性區分構成為了人類理性思維的自然出發點。
數覺、計數技術、模範集合
毫無疑問，如果單憑直接的數覺，人類在計算的技術上就不會比鳥類有什麼進步。事實上，經歷了一連串的特殊的環境，人類在極為有限的數覺之外，學會了另一種技巧來給自己幫忙，這種技巧注定了使人類未來的生活要受到難以估量的影響，這種技巧就是「計數」。「計數」與「數覺」不同，它牽扯到一種頗為複雜的心理過程，是人類很晚以後才有的收穫，也是人類獨有的特性。
計數技術的靈魂就是序列的觀念（想一想皮亞諾公理系統），它使具體的、不同質的表達多寡的各種模式演變為統一的抽象的數概念，形成了數學學科建立和發展的前提。
數覺、計數技術、模範集合
然而，不用計數技術，也可以得出一種合乎邏輯的明晰的數概念，那就是通過建立集合間所謂的相似關係來把全體集合分為乙個個的相似類。當然，原始人類不會有弗雷格和羅素的相似類概念，但他們會不自覺地在身邊的環境中找乙個模範集合作為相似類的代表。原始人類有了語言及表達語言的符號（特別是能夠被視覺分辨或聽覺分辨的符號）後，他們就越來越依賴於語言及其符號，結果他們以符號來代替所表的模範集合——這樣，最初的各式各樣的數字就產生了。
記憶和習慣又使這些數字在人類的思維中獲得了概念化的具體性，於是人類就只用數字來量度多寡，而將原來作為比較物件的模範集合漸漸忘卻了。
相似與計數——對應與序列
數學的進一步發展實在應當歸功於人類感悟到，數的相似類表示與計數表示的統一性。在實用上，相似類的數字表示很有用，也較簡單，但它不能直接創造出算術來。算術的運算是依據「我們總是可以由乙個數目數到它的後繼數目」這一預設的假定而發展起來的，而這個假定正是計數技術的本質。
相似與計數，體現了兩大數學原理——對應和序列。這兩條原理已經深深滲透到全部數學——不只是數學，實際是精密思想的全部領域——之中。
數的弗雷格-羅素定義
要在集合論的框架下展開全部數學，首先就必須在集合論中定義自然數。回顧數的弗雷格-羅素定義：
乙個數目就是某個集合的數，而乙個集合的數是所有與此集合相似的集合所成的類，稱作相似類。
「相似」概念由雙射概念來定義：
集合x與y是相似的，如果存在從x到y的雙射。
與集合x相似的全體集合所組成的類稱作x的相似類。
問題一：每個「相似類」是集合嗎？
在zf-系統的框架下，數學物件都作為集合處理；這樣，數學的基礎就可以避免悖論的產生。因此，像集宇宙這樣的物件就不宜作為數學物件看待。依此觀點，我們會形成這樣的認識：
如果每個「相似類」不是zf-集合，那麼它也就不應該稱作是乙個「數」。
注意：「數」是乙個數學術語，乙個「數」，或說乙個「數目」，理應是乙個普通的數學物件，因而在zf-系統的框架下理應是乙個集合。
問題二：在zf-系統中怎樣定義自然數？
在zf-系統中，定義自然數應當滿足四條要求：
1.每個自然數都應當用乙個集合去定義，它應當在相似關係下是其所在相似類的代表，並且全體自然數應當組成乙個集合。
2.全體自然數的集合應當適合皮亞諾的五條公理，並因此特稱作自然數系。
3.在自然數之間應能定義加法和乘法運算，應能定義序關係。
4.在一定的意義上說，自然數系是唯一的。
答問題一：非空集合的相似類不是集合
證明： 不是zf-集合
答問題二：自然數系就是最小歸納集
歸納集是存在的——數學信條之一
最小歸納集ω——第一無限集合
自然數和自然數系的定義
自然數系ω與皮亞諾的自然數公理
皮亞諾所定義的自然數系n是抽象的，其抽象性表現在：它有三個原始概念：「數」、「零」、「後繼」是未加定義的，它們由皮亞諾的五條公理來界定相互之間的關係，並由此得以表現自己，僅此而已。
因此，這三個原始概念有無對應的實體存在無法由這一理論自身回答。事實上，從zf-系統這一形式集合論的角度看，皮亞諾的自然數公理化方案可以納入到zf-系統的框架內作為自然數系的乙個抽象定義處理。這就是說，可作如下定義。
自然數系的抽象定義
遞迴原理——自然數系的基本定理之一
數學歸納原理——自然數系的基本定理之二
數學歸納原理，包含著一串無限多個三段論，每乙個自身都是一致的。其有限個三段論所斷言的都是邏輯的必然，但無限多個三段論所斷定的卻只能是數學的必然。當乙個動作一旦可能，我們的心靈就能設想這個動作的無限次重複。
這不是邏輯和經驗強加給我們的，這是心靈的力量才能帶給我們的。
自然數系的統一性——自然數系的基本定理之三
零，神奇無比！
單純地看，零就是零，但仔細研究後，你會發現通過它你將可以了解這個世界。因為，數學表述著事物複雜的本質，而把龐大的數學體系連成了乙個整體的是零。從簡單的計數到複雜的運算，從估計事物發生的機率到精確知道與我們相關的事件何時達到最大值，這些有力的數學工具都讓我們使用這樣的思考方法：
乙個事件的發生與其他的事件相關，並且所有這些都離不開零這個中心。
eiπ+1=0 數學中最重要的常數都集中在這裡了，而它們…
數學的思想靈魂存乎於有限與無限之間
有限集、無限集、可列集
定義4 設s是乙個集合，我們規定
（1）如果存在n∈n使得s與｛0，1，…，n｝相似，或s與相似，則稱s是有限集；否則，稱s是無限集。
（2）如果s與n相似，則稱它是可列集。
（3）如果s是有限集或可列集，則稱s是可數集或至多可列集。
定理5 設s是乙個集合，那麼
（1）s是有限集當且僅當s與它的任何真子集不相似；
（2）n是可列集；
（3）s是無限集當且僅當s的某個子集與n相似。
基數的比較
基數比較的三條重要定理
兩個例子
思考題1.自然數系有哪些基本原理？
2.什麼是有限集、無限集和可數集？
3.有理數多還是無理數多？為什麼？
4.談談你對零的看法。
5.談談你對無限的看法。
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