第一節、資料擬合
問題：給定一批資料點（輸入變數與輸出變數的資料），需確定滿足特定要求的曲線或
曲面。如果輸入變數和輸出變數都只有乙個，則屬於一元函式的擬合和插值；而若輸入變數
有多個，則為多元函式的擬合和插值（有點回歸分析的意思）
解決方案：
（1） 若要求所求曲線（面）通過所給所有資料點，就是插值問題；
（2） 若不要求曲線（面）通過所有資料點，而是要求它反映物件整體的變化趨勢，這就
是資料擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。
注意：插值和擬合都是要根據一組資料構造乙個函式作為近似，由於近似的要求不同，
二者的數學方法上是完全不同的。而面對乙個實際問題，究竟應該用插值還是擬合，有時
容易確定，有時則並不明顯。
例 1：下面資料是某次實驗所得，希望得到 x和 f之間的關係？xf
1247
9121315
171.5
3.96.6
11.7
15.6
18.8
19.6
20.6
21.1
曲線擬合問題最常用的解法——最小二乘法的基本思路
第一步：確定擬合的函式型別 y = f (x;a1,a2,",am )，其中a1,a2,",am為待定係數。
（函式型別的確定可以根據內在的規律確定，如果無現成的規則，則可以通過散點圖，聯絡
曲線的形狀進行分析）
第二步：確定a1,a2,",am的最小二乘準則：要求n個已知點(xi, yi )與曲線 y = f (x)n∑
的距離di的平方和 (yi f x 2 最小 。
( ))
ii=1
用 matlab作擬合
1．多項式擬合。作多項式 y = a0x
m+a1x m1 +"+ am擬合，可利用
a=polyfit(x,y,m)—其中 x,y為給出的資料，m為多項式的次數。
多項式在 x處的值 y可用以下命令計算：
y=polyval（a,x）
2．用 matlab作非線性最小二乘擬合
matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函式：lsqcurvefit和 lsqnonlin。兩個命令
都要先建立 m-檔案 在其中定義函式 f(x)。
（1）x = lsqcurvefit (『fun』,x0,xdata,ydata);
（2）x =lsqcurvefit (『fun』,x0,xdata,ydata,options);
（3）x = lsqcurvefit (『fun』,x0,xdata,ydata,options,』grad』);
（4）[x, options] = lsqcurvefit (『fun』,x0,xdata,ydata,…);
（5）[x, options,funval] = lsqcurvefit (『fun』,x0,xdata,ydata,…);
1（6）[x, options,funval, jacob] = lsqcurvefit (『fun』,x0,xdata,ydata,…);
（7）x=lsqnonlin（『fun』，x0）；
（8）x= lsqnonlin （『fun』，x0，options）；
（9）x= lsqnonlin （『fun』，x0，options，『grad』）；
（10）[x，options]= lsqnonlin （『fun』，x0，…）；
（11）[x，options，funval]= lsqnonlin （『fun』，x0，…）；
在使用 lsqcurvefit與 lsqnonlin命令時，共同的問題是要先知道函式的型別，而擬合其實是決
定函式中的待定係數。
第二節插值
插值的基本問題：給出n個數對，(pi, f (pi)),i =1,2,",n，求點 p處對應的函式值 f (p)。
一、一維插值
已知 n +1個節點 (xi, yi ),i = 0,1,",n，求任意點 *處的函式值 *。常用的插值方法xy
有拉格朗日多項式插值、牛頓插值、分段線性插值、hermite插值和三次樣條插值。
9 分段線性插值：將各資料點用折線連線起來
9 多項式插值：求乙個多項式通過所有資料點，可以假設出多項式的係數，最後通過
求解方程得到每個係數（拉格朗日插值，用n次多項式描述 n +1個點）
9 樣條插值：分段多項式的光滑連線（三次樣條插值）
9 牛頓插值：利用節點之間的各階差商和差分構造多項式
9hermite插值：對插值函式，不僅要求它在節點處與函式同值，而且要求它與函式有
相同的一階、二階甚至更高階的導數值
（1）matlab命令：y=interp1(x0,y0,x,'method')
method指定插值的方法，預設為線性插值。其值可為：
'nearest' 最近項插值
'linear'
'spline'
'cubic'
線性插值
立方樣條插值
立方插值。
所有的插值方法要求 x0是單調的。
當 x0為等距時可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、'*spline'、
'*cubic'。
（2）三次樣條插值在 matlab中的實現
在 matlab中資料點稱之為斷點。如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法，就
是採用非扭結（not-a-knot）條件。這個條件強迫第 1個和第 2個三次多項式的三階導數相
等。對最後乙個和倒數第 2個三次多項式也做同樣地處理。
matlab中三次樣條插值也有現成的函式：
y=interp1(x0,y0,x,'spline')；
y=spline(x0,y0,x)；
pp=csape(x0,y0,conds),
pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。
其中 x0,y0是已知資料點，x是插值點，y是插值點的函式值。
對於三次樣條插值，我們提倡使用函式 csape，csape的返回值是 pp形式，要求插值點
2的函式值，必須呼叫函式 ppval。
pp=csape(x0,y0)：使用預設的邊界條件，即 lagrange邊界條件。
pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的 conds指定插值的邊界條件，其值可為：
'complete'
邊界為一階導數，一階導數的值在 valconds引數中給出，若忽略 valconds
引數，則按預設情況處理。
'not-a-knot' 非扭結條件
'periodic'
'second'
週期條件
邊界為二階導數，二階導數的值在 valconds引數中給出，若忽略 valconds
引數，二階導數的預設值為[0, 0]。
'variational' 設定邊界的二階導數值為[0,0]。
對於一些特殊的邊界條件，可以通過 conds的乙個1× 2矩陣來表示，conds元素的取值
為 0，1，2。
conds(i)=j的含義是給定端點i的 j階導數，即 conds的第乙個元素表示左邊界的條件，
第二個元素表示右邊界的條件，conds=[2,1]表示左邊界是二階導數，右邊界是一階導數，對
應的值由 valconds給出。
例 2 工具機加工
待加工零件的外形根據工藝要求由一組資料(x, y)給出（在平面情況下），用程式控制銑床
加工時每一刀只能沿 x方向和 y方向走非常小的一步，這就需要從已知資料得到加工所要求
的步長很小的(x, y)座標。
表中給出的 x, y資料位於機翼斷面的下輪廓線上，假設需要得到 x座標每改變 0.1時的
y座標。試完成加工所需資料，畫出曲線，並求出 x = 0處的曲線斜率和13≤ x ≤ 15範圍
內 y的最小值。xy
0357
9112.012
1.813
1.214
1.015
1.60
1.21.7
2.02.1
要求用分段線性和三次樣條計算。
解編寫以下程式：
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
y2=interp1(x0,y0,x);
y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0);
y4=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second');
y5=ppval(pp2,x);
[x',y1',y2',y3',y4',y5']
subplot(2,2,1)
plot(x0,y0,'+',x,y2)
title('piecewise linear')
subplot(2,2,2)
plot(x0,y0,'+',x,y3)
3title('spline1')
subplot(2,2,3)
plot(x0,y0,'+',x,y4)
title('spline2')
dx=diff(x);
dy=diff(y3);
dy_dx=dy./dx;
dy_dx0=dy_dx(1)
ytemp=y3(131:151);
ymin=min(ytemp);
index=find(y3==ymin);
xmin=x(index);
[xmin,ymin]
二、二維插值：
前面講述的都是一維插值，即節點為一維變數，插值函式是一元函式（曲線）。若節點
是二維的，插值函式就是二元函式，即曲面。如在某區域測量了若干點（節點）的高程（節
點值），為了畫出較精確的等高線圖，就要先插入更多的點（插值點），計算這些點的高程（插
值）。（1）
（2）網格節點：已知m× n個節點 (xi , y j , zij ),i = 1,2,",m; j = 1,2,",n，構造
乙個二元函式 z = f (x, y)通過全部已知節點，即 zij = f (xi , y j )，再利用
z = f (x, y)插值。
散亂節點：已知 n 個節點 (xi, yi, zi ),i = 1,2,",n ，構造乙個二元函式
z = f (x, y)通過全部已知節點，即 zi = f (xi, yi )，再利用 z = f (x, y)插值。
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