第五節滯後變數
一、 滯後變數模型
（一）滯後變數
現實經濟生活中，許多經濟變數不僅受同期因素的影響，而且還與某些因素甚至自身的前期值有關。例如，人們的消費支出不僅取決於當前收入水平，還在一定程度上與過去各期收入有關；通貨膨脹與貨幣供給量的大幅度增加也不是同時發生的，往往要滯後若干時期；固定資產的形成也與本期和前幾期的投資額有關；企業確定合理庫存時，通常也是根據前幾期的市場銷售額和**變動情況做出決定。將變數的前期值，即帶有滯後作用的變數稱為滯後變數（lagged variable），含有滯後變數的模型稱為滯後變數模型。
（二）產生滯後效應的原因
變數y受其他因素前期值影響的現象稱為滯後效應，即y在其他因素變化之後，需要滯後若干時期才能做出響應。滯後效應是乙個較為普遍的客觀經濟現象，其產生原因可以歸結為以下三個方面：
（1） 心理因素：人們的觀念和習慣是長期形成的，適應新的經濟環境往往需要一段時間。例如，當收入水平提高或物價降低時，人們為了維持已經習慣的生活水準往往不會立即增加消費。
（2） 技術因素：生產過程中的投入和產出經常不是同步發生的。例如，農業生產中，從種植到收穫存在著時間間隔；工業生產中，當年產出在一定程度上取決於過去若干年的投資；科研成果的完成到形成新的生產力也需要時間間隔。
（3） 制度因素：契約、管理等因素也會形成一定程度的滯後。例如，企業往往受到過去簽訂合同的制約，不能根據市場變化情況隨時調整產品的生產和**。
在管理體制中，管理層次過多，管理效率低下，也會造成嚴重的滯後現象。
（三）滯後變數模型
1、分布滯後模型
如果模型中的滯後變數只是解釋變數的過去各期值，即：
則稱其為分布滯後模型，表明對的滯後影響分布在過去各個時期，例如：
消費函式
投資函式
2、自回歸模型
如果模型中包含解釋變數的本期值和被解釋變數的若干期滯後值，即：
則稱其為（階）自回歸模型。例如：
消費函式
稅收函式
另外，根據滯後期的選取，又可以將滯後變數模型分成有限滯後模型（若滯後期有限）和無限滯後模型（若滯後期無限）。
（四）滯後變數模型的特點
在模型中引入滯後變數有以下作用：
（1） 由於社會經濟的發展、經濟行為的形成與演變，在很大程度上都與前期的經濟活動密切相關，所以滯後變數模型可以更加全面、客觀地描述經濟現象。實踐經驗表明，引入滯後變數經常能有效地提高模型的擬合優度。
（2） 我們以前討論的計量經濟模型，只分析經濟變數在同一時期的影響，而不考慮經濟系統的運動變化過程，本質上都是靜態模型。但是滯後變數模型可以反映過去的經濟活動對現期經濟行為的影響（或者說現期經濟行為對將來的影響），從而描述了經濟系統的運動過程，使模型成為動態模型。事實上，隨著時間序列分析技術的發展，動態模型（或稱時間序列計量經濟模型）已成為現代計量經濟學的重要內容。
（3） 由於滯後變數模型定量地描述了經濟變數的滯後效應，因此，可以用它來模擬分析經濟系統的變化和調整過程。例如，投資者對利率調整的反應有多快？增加貨幣供給量與通貨膨脹之間的平均間隔是多長時間？
企業對產品質量、**、款式、廣告等營銷策略的調整需要滯後多少時間才能產出影響？諸如此類的問題都可以利用滯後變數模型進行分析。
滯後變數模型雖然具有一些良好的性質，但估計模型時也存在以下問題：
（1） 經濟變數的各期值之間經常是高度相關的，所以直接利用ols方法估計模型會受到多重共線性的影響，尤其是利用滯後變數的係數進行滯後效應分析時，係數的估計值往往不可靠。
（2） 滯後變數個數的增加將會降低樣本的自由度，從而影響引數的估計精度。
（3） 難以客觀地確定滯後期的長度。
因此，對於滯後變數模型需要採用一些新的引數估計方法。
二、 分布滯後模型的估計
（一） 經驗加權法
經驗加權法就是針對所研究經濟問題的特點，根據實際經驗指定各期滯後變數的權數，將各期滯後變數加權組合成新的解釋變數，然後估計變換後的模型，得到原模型中各引數的估計值。根據滯後結構的特點，經常使用的權數型別有：
（1） 遞減型：即各期權值是遞減的；此時假定隨著時間的推移，解釋變數的影響將逐期降低。例如，消費函式中近期收入對消費的影響較大，而遠期收入的影響越來越小；如果設滯後期為2，各期權數取成：
則組合成新的解釋變數：
估計模型（此時模型已無多重共線性）：
得到的估計值，將代入原模型，得：
所以原模型中各引數的估計值為：
（2） 常數型：即各期權數值相等，此時認為滯後變數的各期影響是相同的。設滯後期為2，各期權數均為1/3，則：
估計模型：
同理得到原模型各引數的估計值為：
（3） 倒v型：即各期權數先遞增後遞減呈倒v型，其適用於近、遠期影響較小，中間影響較大的滯後變數模型。例如，歷年投資對產出的影響一般為倒v型結構。設滯後期為4，各期權數取成：
則組合成新的解釋變數：
估計模型：之後，就可以得到原模型中各引數的估計值。
經驗加權法的特點是簡單易行，但權數設定的主觀隨意性較大。通常是多選幾組權數分別估計模型，再通過各種檢驗從中選擇出乙個較為合適的模型。
（二） 阿爾蒙估計法
1、 阿爾蒙估計法(almon) 原理
設有限分布滯後模型為：
如果回歸係數的分布情況如圖3-9（a）所示，則可以近似地表示成滯後期i的二次多項式函式；若的分布類似於圖3-9（b），則可以用的三次多項式函式近似表示。一般地，根據韋爾斯特拉斯（weierstrass）定理，阿爾蒙認為連續函式可以用滯後期的適當次多項式來逼近：
將這一關係式代入原來的分布滯後模型，並經過適當的變數變換，就可以減少模型中的變數個數，從而在削弱多重共線性影響的情況下，估計模型中的引數。
(a) (b)
圖3-9 分布圖
2、 阿爾蒙估計法的步驟
下面以圖3-9(a)中的分布滯後型別為例，說明阿爾蒙估計的具體步驟。分布滯後模型（3-26）可以表示成：
設可以用二次多項式近似表示，即：
將此式代入（3-27）式得：
定義：稱該變數變換為阿爾蒙變換；則原分布滯後模型可以表示成：
經阿爾蒙變換之後，模型中解釋變數個數明顯減少，而且之間的相關程度要小得多，從而消除或削弱了多重共線性的影響。利用ols法估計（3-29）式中係數，然後再將估計結果代入（3-28）式，得到原模型中係數的估計值：
3、 阿爾蒙估計法的特點
阿爾蒙估計法的原理巧妙、簡單，估計引數時有效地消除了多重共線性的影響，並且適用於多種形式的分布滯後結構。但使用阿爾蒙估計時需要事先確定兩個問題：滯後期長度和多項式的次數。
滯後期長度可以根據經濟理論或實際經驗加以確定，也可以通過一些統計檢驗獲取資訊。常用的統計檢驗有：
（1） 相關係數，利用被解釋變數與解釋變數各期滯後值之間的相關係數，可以大致判斷滯後期長度。
（2） 調整的判定係數。其檢驗思想是：在模型中逐期新增滯後變數、擴大滯後期的長度，直到模型的擬合優度不再明顯提高時為止；或者先取乙個較長的滯後期，再逐期剔除滯後變數、縮短滯後期長度，直到模型的擬合優度明顯下降為止。
但在比較不同滯後期長度模型的擬合優度時，為了消除模型中（滯後）變數個數不同的影響，應該使用調整的判定係數，因為增添解釋能力不強的解釋變數反而會使的值降低。
（3） 施瓦茲準則sc(schwarz criterion)。其檢驗思想也是通過比較不同分布滯後模型的擬合優度來確定合適的滯後期長度。施瓦茲準則的計算公式為：
其中，rss是殘差平方和，為滯後期長度，為樣本容量。檢驗過程是：在模型中逐期新增滯後變數，直到sc值不再降低時為止，即選擇使sc值達到最小的滯後期。
sc比更加「嚴厲地處罰」在模型中額外新增不重要的解釋變數。
利用eviews軟體可以直接得到上述各項檢驗結果。
多項式次數可以依據經濟理論和實際經驗加以確定。例如，滯後結構為遞減型和常數型時選擇一次多項式；倒v型時選擇二次多項式；有兩個轉向點時選擇三次多項式，等等。如果主觀判斷不易確定時，可以先初步確定乙個次多項式：
相應的變換模型為：
估計模型後，如果的檢驗不顯著，則降低多項式次數，反之則增加多項式次數。但值得注意的是，如果值取得過大，一方面不能有效地減少模型中的解釋變數個數，另一方面之間也可能會出現多重共線性，使得的估計和檢驗不可靠。所以一般取1～3。
4、 阿爾蒙估計的eviews軟體實現
在eviews軟體的ls命令中使用pdl項，系統將自動使用阿爾蒙估計法估計分布滯後模型。其命令格式為：
ls y c pdl（x, k, m, d）
其中，k為滯後期長度，m為多項式次數，d是對分布滯後特徵進行控制的引數，可供選擇的引數值有：
1——強制在分布的近期（即）趨近於0
2——強制在分布的遠期（即）趨近於0；
3——強制在分布的兩端（即和）趨近於0
0——對引數分布不作任何限制。
在ls命令中使用pdl項，應注意以下幾點：
（1） 在解釋變數x之後必須指定的值，為可選項，不指定時取預設值0。
（2） 如果模型中有多個具有滯後效應的解釋變數，則分別用幾個pdl項表示。例如：
ls y c pdl（x1，4，2） pdl（x2，3，2，2）
cross y x
輸入滯後期之後，系統將輸出的各期相關係數。也可以在pdl項中逐步加大的值，再利用和sc判斷效為合適的滯後期長度。
[例9]表3-11列出了某地區製造行業歷年庫存y與銷售額x的統計資料，試利用分布滯後模型建立庫存函式。
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