一、 基本概念：估計量與估計值
所謂估計量就是指估計總體引數的一種方法。在該方法下，給定乙個樣本，我們可以獲得乙個具體的估計結果，該結果就是所謂的估計值。例如，基於乙個樣本容量為n的樣本，其中為第i次觀測值，我們用樣本均值來作為對總體均值的估計。
在這裡，就屬於估計量，由於其取值隨著樣本的變化而變化，因此它是隨機的。現在假設我們持有a、b兩個樣本：與，則基於這兩個樣本，可以計算出：
分別是估計量可能的取值，它們就是估計值。既然估計量是隨機變數，那麼它一定服從某種分布，由於估計量與抽樣相聯絡，因此我們把估計量所服從的分布稱為抽樣分布。有關統計學的一些基本知識請參見本講附錄一。
筆記：觀測值是隨機變數的乙個可能的取值。我們用樣本均值來估計總體均值，實際上就是用來估計。
在數理統計中，這被稱為矩估計，因為被稱為樣本（一階）矩，而被稱為總體（一階）矩。矩估計其要點可以歸結為，符號與符號e相對應。我們再來看看矩估計思想的乙個應用。
為了估計隨機變數的方差e[- e()]2（也即總體方差），在矩估計法下，則方差估計量將是：。應該注意到，這個方差估計量是有偏估計，而才是方差的無偏估計。如果樣本容量很大，這兩個估計量相差無幾，事實上兩者都是方差的一致估計量。
這個例子暗示，矩估計並不一定會獲得乙個無偏的估計量，但將獲得乙個一致的估計量。關於估計量無偏性與一致性的基本含義見附錄1
二、 高斯-馬爾科夫假定
對於模型：，則、相應的ols估計量就是：
在一些重要的假定下，ols估計量表現出良好的性質。我們把這些假定稱為高斯-馬爾科夫假定。
●假定一：真實模型是：。有三種情況屬於對該假定的違背：（1）遺漏了相關的解釋變數或者增加了無關的解釋變數；（2）y與x間的關係是非線性的；（3）並不是常數。
筆記：1、遺漏了的解釋變數將進入誤差項，從而這很可能導致誤差項不在滿足下面所列舉的一些假定；如果真實模型是非線性的，但我們卻用一條直線來近似它，顯然這是南轅北轍；如果引數並不是常數，然而我們卻基於特定樣本用一些常數去近似它們，這顯然也不合理的。
2、經濟學理論或許很少直接認為y與x的關係是線性的，y與x具有非線性關係可能更符合現實。然而把模型建立成非線性形式常常會付出代價，因為非線性模型其待估計的引數可能更多，從而導致自由度的耗費，帶來估計精度的下降。另外，從數學上講，利用泰勒展開，我們也常常可以用乙個線性模型去近似非線性模型。
●假定二：對解釋變數的n次觀測即被預先固定下來，即不會隨著樣本的變化而發生變化，是乙個非隨機列向量。顯然，如果解釋變數含有隨機的測量誤差，那麼該假定被違背。
還存其他的違背該假定的情況。
筆記：1、被假定不會隨著樣本的變化而發生變化，但這並不意味著在乙個給定的樣本中。事實上，在含有乙個截距與乙個解釋變數的簡單線性回歸模型中，將意味著ols估計量失去意義，見高斯-馬爾科夫假定六。
2、被假定為非隨機並不是乙個標準假定，然而在該假定下數學處理要簡單得多，而且ols基本的涵義也並未喪失。是隨機的情況更一般化，此時，高斯-馬爾科夫假定二被更改為：對任意與，與不相關，此即所謂的解釋變數具有嚴格外生性。
顯然，當非隨機時，與必定不相關。事實上，假定二其最終目的在於保證與不相關。
3、在建立模型時，我們總是希望誤差項是由一些不重要、沒有任何資訊價值的成分所構成。如果與相關，這意味著誤差項還具有一定的資訊價值，因此在某種程度上可以認為，我們預先建立的模型是不完備的。應該注意到，如果模型遺漏了解釋變數，而這些被遺漏的解釋變數又與已存在的解釋變數是相關的，那麼這將導致誤差項與已存在的解釋變數是相關的。
4、為了理解非隨機性的假定，我們考慮如下乙個例子。我們試圖考察受教育年限（x）對收入（y）的影響。假定我們預先知道總體中有1%的人口接受了22年的學校教育；有3%的人口接受了19年的學校教育；有10%的人口接受了16年的學校教育…。
現在，我們進行乙個樣本容量為1000的抽樣調查。為了使樣本盡量反映總體的情況，我們要求樣本中有10人接受了22年的教育；有30人接受了19年的教育；有100人接受了16年的教育。這種抽樣技術被稱為分層隨機抽樣（stratified random sample）。
在抽樣中，設定前10次觀測物件是那些接受了22年的教育的人，接下來是那些接受了19年教育的人…。在這種方法下我們可以獲得多個樣本，但被預先固定下來，即它不會隨著樣本的變化而發生變化。
●假定三：誤差項期望值為0，即。
筆記：1、當隨機時，標準假定是：
根據迭代期望定律有：,因此，如果成立，必定有：。另外，根據迭代期望定律也有：
而。故有：
因此，在是隨機的情況下，假定
二、三可以修正為乙個假定：。
2、所謂迭代期望定律是指：如果資訊集，則有。無條件期望所對應的資訊集是空集，因此按照迭代期望定律必有：。本講義第十講對該定律進行了更為詳細的介紹。
3、回憶第一講，對模型，在ols法下我們一定能保證：(1)殘差均值為零；(2)殘差與x樣本不相關。我們希望殘差是對誤差的良好近似，但如果假定
二、三不成立，即，誤差項期望值不為零，誤差項與解釋變數相關，顯然此時殘差並不是對誤差項的良好近似。由於，，因此，如果殘差並不是對誤差項的良好近似，那麼引數的ols估計量就不是對真實引數良好的近似。由此看來，為保證ols估計量具有良好的性質，假定
二、三的成立非常重要。
4、當假定成立時，必有；，進而（在這裡對各隨機變數未加註腳標，這是因為無論腳標是什麼，相關等式都成立。現在我們來利用所謂的矩估計思想。誤差項觀測不到，故我們不得不把殘差當做是對誤差的觀測。
於是按照矩估計思想有：；，而這兩個式子正是ols估計法中的兩個正規方程，由正規方程就可以得到引數的ols估計量。由此看來，當假定成立時，ols估計不過是矩估計的特例。
如果知道了這一點，我們就會很快地記住ols估計量公式：
當時，。用樣本協方差與樣本方差代替總體協方差與總體方差，則有：。我們以後在學習工具變數估計法時，將再次體會到矩估計思想的重要性。
可以發現，矩估計僅僅涉到了x與同期不相關的假定，從這個意義上講，這個條件過於強了，但只有在這個條件下ols估計量的無偏性才能保證成立，這可參見更高階的教科書。
●假定四：，即所謂的同方差假定。
筆記：1、 在是隨機的情況下，該假定修訂為：
2、如果誤差項是異方差的，那麼n個誤差項將具有n個不同的分布。如果把殘差近似為對誤差的觀測，則此時每乙個分布下只有一次觀測，顯然僅憑一次觀測我們很難對隨機變數的分布性質進行統計分析。
●假定五：，即所謂的序列不相關假定。
筆記： 1、在是隨機的情況下，該假定修訂為：
2、如果誤差項序列相關，這表明誤差項還含有系統性的、可資利用的資訊。但如果我們已建立的線性模型是完備的，那麼假定誤差項序列不相關就顯得相當自然了。
●假定六：，在多元回歸中，該假定演變為的逆存在，即各解釋變數不完全共線。
筆記：假定六是最基本的，因為違背該假定則ols估計量的相關公式就失去了意義。但假定六在實踐中最不值得擔心，因為當該假定被違背時，計量軟體將立即告訴我們此時無法進行計算。
高斯-馬爾科夫假定
二、三、四、五都可以被歸結為對誤差項性質的假定，而假定一部分可以認為是對誤差項性質的假定。假定六是關於引數可識別的假定。結合ols的代數性質，我們是不是可以直接感覺到假定
一、二、三的重要性？但不幸的是，初級計量經濟學經常把重心放在了假定
四、五上了。
怎麼讓我們相信假定一至五是成立的呢？我們首先應該盡量利用經濟學理論來判斷相關假定的合理性，接下來我們可以進行相關的檢驗，這些檢驗被稱為計量經濟檢驗。由於這些假定基本上是一些關於誤差項分布性質的假定，因此檢驗誤差項分布性質是必要的。
然而，誤差項是不可觀測的。但如果高斯-馬爾科夫假定成立，殘差將是對誤差的良好近似，於是，我們可以通過分析殘差的性質來間接檢驗誤差的分布性質。
三、 高斯-馬爾科夫定理
當高斯-馬爾科夫假定成立時，在所有線性無偏估計量中，ols估計量方差最小，即ols估計量是最有效的。換句話說，當高斯-馬爾科夫假定成立時，ols估計量是最優線性無偏估計量（best linear unbiased estimator, blue），此即高斯-馬爾科夫定理。
筆記：1、對乙個估計量，我們希望它具有什麼樣的性質？(1)簡單實用。
隨著計量軟體的發展，這一點可能不是那麼重要了；(2)不同的人利用不同的樣本得到不同的估計結果，但我們希望平均來看，估計結果將是準確的，此即估計量的無偏性；(3) 不同的人利用不同的樣本得到不同的估計結果，但我們希望這些結果差異不要太大，事實上差異越小越好，即估計量的方差越小越好，此即估計量的有效性；(4)如果把總體全部展示在我們面前，則我們希望所利用的估計量能夠得到真實的引數值，此即估計量的一致性。顯然一致性是乙個合理的估計量應該滿足的最低要求。如果把事情的真相都告訴你了，你卻依據一估計方法得到錯誤的結果，那麼這個估計方法一定是乙個垃圾！
2、我們很希望乙個無偏估計量也是有效的。下面乙個調侃計量經濟學家的笑話或許有助於我們理解這一點。
三個計量經濟學家去森林中打獵。乙個計量經濟學家一**到一頭野豬前面五公尺處，乙個計量經濟學家一**到這頭野豬後面五公尺處，第三個計量經濟學家高興得跳起來喊道，「擊中了！擊中了！
我們平均擊中了！」。
3、乙個估計量可能是有偏的、無效的，但如果滿足一致性，它也是有用的。因為當我們手中的樣本容量確實很大時，那麼基於這個一致估計量的估計結果應該是對真實引數良好的近似。我們在前面的筆記中曾提到，如果假定
二、三不成立，則殘差並不是對誤差項的良好近似，進而引數的ols估計量就不是對真實引數良好的近似。由此看來假定
二、三的成立對於保證ols估計量的一致性非常重要。
（一）ols估計量是線性估計量
所謂ols估計量是線性估計量，是指它能夠被表示為的線性函式。例如：
在這裡我們定義。應該注意到，在假定二下，ki是非隨機的。
練習：把表示成的線性函式：，其中。
筆記：可以從數學上驗證：
另外一種簡單的驗證方式是：（1）假定被解釋變數與解釋變數都是x，那麼回歸直線的斜率將為1，截距將為0，即有：
（2）假定被解釋變數取值恒為1，那麼回歸直線的斜率將為0，截距將為1，即有：
（二）ols估計量具有無偏性：；
證明：注意到；，再利用高斯-馬爾科夫假定三： ，於是有：。
筆記： 1、在是隨機的情況下，我們需證：
2、我們在證明無偏性實際上應用了高斯-馬爾科夫假定
一、二、三。
練習：證明
（三）在所有線性無偏估計量中，ols估計量方差最小
1、ols估計量的方差
利用高斯-馬爾科夫假定五：
與高斯-馬爾科夫假定四：
有：。注意到：
因此有：
筆記：1、，當n趨於無窮大時，樣本方差收斂於總體方差，故當n趨於無窮大時，趨於0。由於，因此，當n趨於無窮大時，在概率上收斂於，即是的一致估計量。你能夠表明是的一致估計量嗎？
2、我們得到上述方差公式時實際上利用了高斯-馬爾科夫假定
一、二、四、五。當上述假定不成立時，上述公式無意義。
計量經濟學第十講
第五節滯後變數 一 滯後變數模型 一 滯後變數 現實經濟生活中，許多經濟變數不僅受同期因素的影響，而且還與某些因素甚至自身的前期值有關。例如，人們的消費支出不僅取決於當前收入水平，還在一定程度上與過去各期收入有關 通貨膨脹與貨幣供給量的大幅度增加也不是同時發生的，往往要滯後若干時期 固定資產的形成也...
計量經濟學
第七套一 單項選擇題 1 用模型描述現實經濟系統的原則是 b a.以理論分析作先導，包括的解釋變數越多越好 b.以理論分析作先導，模型規模大小要適度 c.模型規模越大越好 這樣更切合實際情況 d.模型規模大小要適度，結構盡可能複雜 2 arch檢驗方法主要用於檢驗 a a 異方差性 b.自相關性 d...
計量經濟學總結
計量經濟學 是經濟的乙個分支學科，是以揭示經濟活動中客觀存在的數量關係為內容的分支學科。是經濟理論 統計學和數學三者的結合 計量經濟學的研究步驟 1.確定變數和數學關係式 模型設定 2.分析變數間具體的數量關係 估計引數 3.檢驗所得結論的可靠性 模型檢驗 4.做經濟分析和經濟 模型應用 設立乙個良...