1. 圓的標準方程
（1）以點為圓心，為半徑的圓的方程：
（2）圓心在原點的圓的標準方程：
2. 圓的一般方程
，（）①
說明：（1）和項的係數相等且都不為零；
（2）沒有這樣的二次項．
（3）表示以為圓心，為半徑的圓．
3. 直線與圓的位置關係
將直線方程與圓的方程聯立成方程組，利用消元法消去乙個元後，得到關於另乙個元的一元二次方程求出其的值，然後比較判別式與的大小關係，
若，則直線與圓相離
若，則直線與圓相切
若，則直線與圓相交
4. 圓的弦長的求法
幾何法：當直線和圓相交時，設弦長為，弦心距為，半徑為，則
代數法：設的斜率為，與圓的交點分別為
則弦長；．
5. 圓系方程
經過兩個定點的圓有無數多個，那麼表示這無數多個圓的方程稱為圓系方程．
（1）經過直線與圓的交點的圓系方程為，其中．
（2）經過圓與圓的交點的圓系方程為
，其中且同時不包括圓
當時，方程變為，若兩圓相交，則其表示兩圓公共弦所在直線方程．
1． 圓的方程
【例1】 方程表示圓，則的取值範圍是（ ）
a ．或b．
cd．【例2】 （07上海文13）圓關於直線對稱的圓的方程是（ ）
ab．cd．【例3】 與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方是 ．
2． 直線和圓的位置關係
【例4】 （2023年豐台一模）過點與圓相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時的直線方程是
【例5】 （2023年山東）已知圓的方程為．設該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（ ）
a． b． c． d．
【例6】 圓上到直線的距離為的點共有（ ）
a．1個b．2個c．3個d．4個
【例7】 （2023年湖南）圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是
【例8】 已知是直線上的動點，、是圓的兩條切線，是切點，那麼四邊形面積的最小值為_______，此時點的座標為_____．
【例9】 （2023年江西）直線與圓相交於，兩點，若，則的取值範圍是（ ）
ab．cd．【例10】 （2023年海淀一模）直線與圓相交於，兩點（其中是實數），且是直角三角形（是座標原點），則點與點之間距離的最大值為（ ）
a． bc． d．
【例11】 （2023年東城區期末6）直線與圓的位置關係為（ ）
a．相交 b．相切c．相離d．相交或相切
【例12】 （2023年東城一模理）已知曲線的引數方程為（為引數），則曲線上的點到直線的距離的最大值為
【例13】 （2023年全國理11）已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，a、b為兩切點，那麼的最小值為（ ）
a． b． c． d．
【例14】 (2023年安徽理7)設曲線的引數方程為(為引數)，直線的方程為，則曲線上到直線距離為的點的個數為（ ）
abcd．
【例15】 （2023年湖北9）若直線與曲線有公共點，則的取值範圍是
ab．cd．【例16】 （2023年江西8）直線與圓相交於m，n兩點，若，則k的取值範圍是（ ）
ab． c． d．
【例17】 （2023年全國ii 16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形的面積的最大值為
【例18】 （06湖南卷）若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為，則直線的傾斜角的取值範圍是 ( )
abcd．
3． 數形結合
【例19】 若集合，集合且，則的取值範圍為
【例20】 已知圓，為圓上任一點，求的最大、最小值，求的最大、最小值．
【例21】 求函式的值域．
4． 圓的綜合
【例22】 （2023年海淀一模8）若直線被圓所截的弦長不小於2，則與下列曲線一定有公共點的是（ ）
a． b．． c． d．
【例23】 （2023年海淀一模13）若直線被圓所截的弦長不小於2，則在下列曲線中：
與直線一定有公共點的曲線的序號是寫出你認為正確的所有序號）
【例24】 （2023年海淀一模8）已知拋物線：，圓：（其中為常數，）．過點（1，0）的直線交圓於、d兩點，交拋物線於、兩點，且滿足的直線只有三條的必要條件是
a． b． cd．
【例25】 （2023年上海18）過圓的圓心，作直線分別交正半軸於點a、b，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線ab有（ ）
a．0條b．1條 c．2條d．3條
【例26】 （07湖北理10）已知直線（是非零常數）與圓有公共點，且公共點的橫座標和縱座標均為整數，那麼這樣的直線共有（ ）
a．60條b．66條c．72條d．78條
【例27】 （07上海11）如圖，是直線上的兩點，且．兩個半徑相等的動圓分別與相切於
點，是這兩個圓的公共點，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值範圍
【例28】 （07江西理16）設有一組圓．下列四個命題：
a．存在一條定直線與所有的圓均相切
b．存在一條定直線與所有的圓均相交
c．存在一條定直線與所有的圓均不相交
d．所有的圓均不經過原點
其中真命題的代號是寫出所有真命題的代號）
【例29】 已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．
（ⅰ）當直線過點時，求直線的方程；
（ⅱ）當時，求菱形面積的最大值．
【例30】 （2023年海淀期末19）已知圓，點為直線上的動點．
(i)若從到圓的切線長為，求點的座標以及兩條切線所夾劣弧長；
（ii）若點，直線與圓的另乙個交點分別為，求證:直線經過定點．
【習題1】（08湖北卷9）過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有（ ）
a．16條b． 17條c． 32條d． 34條
【習題2】（08天津卷15）已知圓c的圓心與點關於直線對稱．直線與圓c相交於兩點，且，則圓c的方程為
【習題3】（08四川卷14）已知直線與圓，則上各點到的距離的最小值為_______．
【習題4】（06湖南卷）圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是（ ）
a．36b． 18 cd．
【習題5】（2023年天津14）若圓與圓的公共弦的長為，則
【習題6】（2023年豐台區期末18）已知為平面直角座標系的原點，過點的直線與
圓交於，兩點．
（ⅰ）若，求直線的方程；（ⅱ）若，求直線與圓的交點座標．
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