廣東省佛山市南海中學金瑩 528211
發表於華南師大《中學數學研究》2023年12期
線性規劃是新課標的一大熱點和必考內容，隨著其內容向縱深發展，考查形式多樣化，與之密切相連的姊妹「非線性規劃」逐漸浮出水面，活躍在近年的高考題和競賽題中。
「具有非線性約束條件或目標函式的數學規劃，是運籌學的乙個重要分支。非線性規劃研究乙個 n元實函式在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標函式和約束條件至少有乙個是未知量的非線性函式。」目標函式和約束條件都是線性函式的情形則屬於線性規劃。
根據「非線性規劃」的定義，可將其分為三種型別：約束條件為非線性，目標函式為線性；約束條件為線性，目標函式為非線性；約束條件和目標函式同時為非線性。對於前兩種型別，我們較熟悉，平時教學和高考中經常出現。
而對於第三種型別則比較少見，一般出現在競賽中。下面，筆者結合幾道典型的題目，根據三種型別，著重談談非線性規劃在函式值域中的應用。
1 約束條件和目標函式均為非線性
例1. （第二屆「南方杯」）設a、b是兩個給定的正實數，實數x、y滿足，試求的取值範圍（值域）.
【解析】本題的約束條件是，目標函式是。那麼，可行域怎麼畫呢？也就是二次曲線表示什麼圖形？這是乙個有著高等數學背景的題目，它是乙個二次型，我們要通過變換，將其化為標準型。
令。代入約束條件得
這表示的是什麼曲線？橢圓、圓、雙曲線？我們需要分類討論。
因為都是正數，所以，且。只需對的符號進行分類討論。
1 當時，※式表示的是焦點在軸上的橢圓。如圖，
目標函式=中的幾何意義表示可行域中的點到原點距離的平方。顯然，在上圖中點運動到頂點處，最大；
點運動到頂點處，最小。
故此時的值域為。
2 當時，※式表示的是焦點在軸上的雙曲線。如圖，
當運動到頂點或處，最小；隨著雙曲線的無限延伸無最大值。故此時f的值域為。
3 當時，，※式表示的是兩條平行直線，如圖：
同理，當運動到點或處，最小，無最大值。
此時f的值域仍為。
【點評】當約束條件為非線性時，可行域常涉及圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線或曲面，有的能夠一眼識別，如實數滿足，求的值域；有的則需要先進行變換，化為標準型，如本題。這裡面蘊含著豐富的數學思想和方法，如化歸的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、變換法等。細細品來，便是一片甜潤芳澤，余香繚繞。
2 約束條件為線性，目標函式為非線性
例2 （09瀋陽高三質檢）已知函式在內取極大值，在內取極小值，求的取值範圍。
【解析】在內取極大值，在內取極小值方程即的兩根分別落在區間（0,1）和（1,2）內，且滿足
（約束條件）
目標函式表示可行域內的點到點的距離的平方。易求得答案。
【點評】本題的約束條件較隱蔽，考查導數與單調性、極值的關係。關於目標函式的非線性型別常見有以下4種：
（1）斜率型，如；
（2）距離型（兩點距離和點線距離），比如（2010福建理8）：設不等式組所表示的平面區域是,平面區域是與關於直線對稱,對於中的任意一點a與中的任意一點b,的最小值等於
a. b.4 c. d.2
由題意知，所求的的最小值，即為區域中的點到直線的距離的最小值的兩倍，畫出可行域，可知點（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為，所以選b。
（3）面積型， 如例2中求的範圍，它表示以為長與寬的矩形的面積。當點在點（-3,1）時，取最大值3；當點在以點（-2,0）、（-1,0）為端點的線段（不包括端點）上時，取最小值0。答案。
（4）橢圓型，如，可化為，它表示焦點在橫軸，有相同離心率的相似橢圓。故求目標函式的值域，相當於求橢圓長半軸範圍。當橢圓過點時，；當橢圓過點時，，所以。
3 約束條件為非線性，目標函式為線性
例3 已知實數滿足，求的值域。
【點評】本題是一道常規題，老師們都比較熟悉，就不再贅述了。但下面一道題，就有點特別：
例4 已知a, b 都是不為零的常數且，變數滿足不等式組:
，試求的最大值.
【解析】換元，令，約束條件轉化為，目標函式。
（1）若，畫出可行域（圖1）：弧，由圖可知；
（2）若，畫出可行域（圖2）
弧，。通過以上例題分析，不難發現，非線性規劃問題突出數形結合、化歸與轉化思想，體現在知識交匯處命題的理念。因此，應該引起我們的重視。
參考文獻
[1]歐陽勇．巧搭線性規劃平台，解非線性規劃問題[j].考試.高考數學,2009(2)
[2]武瑞雪．非線性規劃與數形結合思想[j].福建中學數學，2009(4)
[3]張朱豔．非線性規劃問題的常見解法[j].中學數學月刊，2006（3）
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