課題:6.5三角形內角和定理的證明
授課時間：2023年6月13星期四第二節
學習目標：
1、知識與技能目標：學生由對三角內角和定理感性認識上公升到理性推理證明，掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。
2、過程與方法目標：學生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展合情推理能力，逐步養成邏輯推理能力，並形成一定的邏輯思維能力。
3、情感態度與價值觀目標：經歷三角形內角和定理不同種方法的推理證明過程，培養學生創造性，弘揚個性發展，體驗解決問題的成就感，體會數學證明的嚴謹性和推理意義，培養學習數學的興趣，感悟邏輯推理的數學價值。
教材分析
1、內容分析
三角形內角和定理是「空間與圖形」中的乙個很重要的定理。
(1)它為以後學習多邊形內角和定理奠定基礎。
(2)實際生活、生產中有廣泛的應用。
(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。
三角形內角和定理的證明過程為學生建立數學思想方法和邏輯推理能力提供乙個發展提高平台，其論證過程總體體現為化歸思想。學過之後，這種思想方法可以模擬運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為「普通語言向符號語言轉化」的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現實。
在證明過程中，學生從中學到的不僅僅是知識、方法及數學邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學習方式的選擇等等方面都將大有收穫，說明了本節教材內容對學生非智力因素的影響還是非常大的。
2、學情分析：
（1）學生已經在小學和七年級的時候接觸過三角形內角和定理，並且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內角和定理提供了認知基礎。
（2）從學生的學習動機與需要上看，他們有**新事物的慾望和好奇心，這為**三角形內角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。
（3）學生在學習三角形內角和定理的證明過程中，其認知順序可能是建構型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內角和定理。
3、障礙**：
輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，並且輔助線的添法沒有統一的規律，要根據需要而定，另外本節課開始將訓練學生把幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學生來說都有一定接受難度。
教學重點、難點
重點：以三角形內角和定理的證明為載體，學習幾何證明思想，以及輔助線的有關知識，體會數形結合思想。
難點：輔助線新增的必要性和具體方法：（1）為什麼要新增；（2）在**新增；（3）如何新增；（4）哪種新增方法最簡單。
設計思路分析：
三角形內角和定理是學生接觸較早的定理之一，其內容和應用早已為學生所熟悉。因此，本節課需要重點解決的問題是定理的證明；在定理證明中，學生將首次接觸和應用輔助線，於是，在證明中「為什麼要新增輔助線」、「如何新增輔助線」就必然成為本節課的重點。
本課基本定位在於，通過三角形內角和定理證明的教學實踐、感受幾何證明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領學生體會數學中的重要思想——數形結合。
借助「撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內角和定理」的過程分析，啟發誘導學生初步體會輔助線及其在證明中的作用。最後，引領學生進一步體會輔助線新增方法的多樣性，滲透「最優化」思想。
教學策略：
1、學教方式：為真正落實學生的主體地位，教師只是教學過程的組織者、合作者、引導者，特確定了如下學教方式：學生自主**、合作交流學習，教師引導發現教學。
2、教學支援：為促進學生自主學習，增大課堂容量，提高效率，突出重點，突破難點，本節課將採用多**演示教學。
教學過程
（一）知識回顧，積累經驗
1、平行線的判定：
2、平行線的性質：
3、證明乙個文字命題的一般步驟：
（二）情景再現，匯入新課
問題1：我們知道三角形三個內角的和等於180°.你還記得這個結論的探索過程嗎?
（1）數的研究：對於三角形的內角和是180°這樣乙個結論，啟發學生回想，我們在小學時是怎樣知道這個結論的。
（通過量角器進行角度的測量，這就是「數」的研究，量角器在這裡起到橋的作用。）
問題2：通過前兩節課的學習，我們知道通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定是正確的，測量會產生誤差，問題解決得並不完美。這就促使我們去尋找新的研究方向——形。（體會證明的必要性）
（2）形的研究：對於三角形的內角和是180°這樣乙個結論，啟發學生回想，七年級下冊時是怎樣知道這個結論的。
（通過動手操作拼圖，將分散的三個角「搬」到一起，從而構成乙個平角或兩角互補，為本節課引出輔助線做好鋪墊）
【設計意圖】（1）鑑於學生對證明已有一定的認識和了解，並且對三角形內角和已經有初步認識，在教學過程設計上並沒有從學生身邊熟悉的事例創設情境，而是簡單地對三角形內角和的知識加以回憶。
（2）學生以前所做的都是特殊的三角形，而且「量一量、拼一拼、折一折」受客觀因素的制約，影響了研究結果的準確性，況且當時有些學生量出內角和的度數確實要高於或低於180°。
（3）學生的懷疑是正常的，剪拼得到的結論有一定的合理性，但還需證明來確認，這正是我們這節課要解決的問題 ——教育學生研究問題要有乙個嚴謹的科學態度。
（三）活用化歸，證明定理
根據前面給出的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.
結論： 三角形三個內角的和等於180°。
師： 這是乙個文字命題，證明時需要先幹什麼呢？
生：需要先畫圖形，根據命題的條件和結論寫出已知、求證。
師：對，下面大家來證明，哪位同學上黑板給大家板演呢？
已知: ∠a、∠b、∠c 是△abc的三內角.
求證:∠a+∠b+∠c=180°
分析:延長bc到d,過點c作射線ce∥ab,這樣,就相當於把∠a移到了∠ace的位置,把∠b移到了∠ecd的位置
證明：延長bc到d，過點c作直線ce∥ab
∴∠b＝∠ecd（兩直線平行，同位角相等）
∠ace=∠a（兩直線平行，內錯角相等
∵∠ace+∠ecd+∠acb＝180°
∴∠a＋∠b＋∠acb＝180°（等量代換）
師：同學們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們添畫了射線ce、cd，使處於原三角中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。
在平面幾何裡，輔助線通常畫成虛線。
我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的三個內角的和等於180°是真命題，這時稱它為定理。即：三角形內角和定理：三角形三個內角的和等於180°。
【設計意圖】培養學生有「公理化思想」，能運用基本事實和定理證明問題，有學會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學習的能力，有**新知的能力。
（四）開啟智慧型，分組**
師：你還有其他方法來證明三角形內角和定理嗎？在證明三角形內角和定理時,小明的想法是把三個角「湊」到a處,他過點a作直線pq∥bc(如圖),他的想法可以嗎?
請你幫小明把想法化為實際行動
證明:過點a作pq∥bc
∴∠pab=∠b(兩直線平行,內錯角相等) ,
∠qac=∠c(兩直線平行,內錯角相等),
∵∠bac+∠b+∠c=180° (平角的定義),
∴∠bac+∠b+∠c=180° (等量代換).
小明的想法已經變為現實,由此你受到什麼啟發?你有新的證法嗎?
1、教師組織學生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展**活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。
2、在學生開展**的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當的提示和引導。
3、教師指導學生新增輔助線，給出完整的「三角形內角和定理」的證明。
4、分組**，成果展示
教師指導學生進行全班交流：（1）借助實物投影儀，將學生找到的新增輔助線的方法進行彙總展示。（2）在展示過程中，注意關注學生的表達以及尋找到的新增輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。
（3）引導學生將輔助線新增在三角形的頂部，邊上及三角形內、外部均可。然後，進一步引導學生比較哪種最好。
【設計意圖】1、讓學生在證明的過程中，進一步了解三角形內角和定理的證明思路，並且了解一題的多種證法，從而拓寬學生的思路．
2、這裡是本節課的乙個重點，教師在這裡要交代①什麼是輔助線，新增時要用虛線畫出；②輔助線怎麼來的在證明開始時要交代清楚，後新增的字母要在證明的開始前交代清楚；③規範書寫格式是自上而下的；④有條理的表達上面的分析思路，有乙個嚴密的邏輯思維過程。
3、三角形內角和的證明實質是利用化歸思想將三角形內角和轉化為「平角等於180°」或「兩直線平行同旁內角和等於180°這一點應向學生交代清楚
4、給學生充分的自我展示的機會，盡量發現更多的新增輔助線的方法。
（五）實踐應用，培養能力
1、已知:如圖在△abc中，de∥bc,∠a=60°, ∠c=70°.
求證： ∠ade=50°
2.、已知：如圖，△abc中， ∠b 和∠c的平分線be，cf交點o.
求證： ∠boc=90°+∠a
（六）知識回顧，拓展延伸，
如圖，利用幾何畫板，在△abc中，
（1）如果bc不動，把點a「壓」向bc，∠a就越來越大，而∠b與∠c的和越來越小，由此你能想到什麼？
(2)如果bc不動，把點a「拉離」bc，∠a就越來越小，而∠b與∠c則越來越大，它們的和越來越接近180°，由此你能想到什麼？
【設計意圖】引導學生利用運動變化的觀點理解和認識數學，滲透極限思想。
（七）暢談收穫，反思昇華
本節課，我們證明了乙個很有用的三角形內角和定理。在三角形中，求角的大小可將被求角看作三角形的內角來求。證明的基本思想是：
借助輔助線將原三角形中處於不同位置的三個內角集中在一起，拼成乙個平角或兩個互補的角．通過本節課的學習,你有哪些收穫?
證明三角形內角和
證明三角形內角和的幾種方法 一 實際操作法 將三角形任意兩個角撕下，同第三個角拼和，即可組成乙個180度角。二 理論證明 1 如圖，過a點做de bc de bc b 1，c 2 直線de過點a 1 2 3 180 b c 3 180 推出三角形內角和等於180度 2 如圖，過c點做cd ab，延長...
三角形內角和180證明
1.如圖，證明 b c bac 180 證明 過a點作de bc de bc b dab，c eac 兩直線平行，內錯角相等 d,a,e三點共線 dae 180 dae dab bac cae dab bac cae 180 b c bac 180 2.如圖，證明 b a acb 180 證明 過c...
三角形內角和定理證明
三角形內角和定理的證明教學設計 南京市大廠中學袁新兵蔡祝華 一 教材與學生現實的分析 1 三角形的內角和定理是從 數量關係 來揭示三角形內角之間的關係的，這個定理是任意三角形的乙個重要性質，它是學習以後知識的基礎，並且是計算角的度數的方法之一。在解決四邊形和多邊形的內角和時都將轉化為三角形的內角和來...