第六課時
●課題§6.5 三角形內角和定理的證明
●教學目標
（一）教學知識點
三角形的內角和定理的證明.
（二）能力訓練要求
掌握三角形內角和定理，並初步學會利用輔助線證題，同時培養學生觀察、猜想和論證能力.
（三）情感與價值觀要求
通過新穎、有趣的實際問題，來激發學生的求知慾.
●教學重點
三角形內角和定理的證明.
●教學難點
三角形內角和定理的證明方法.
●教學方法
實驗、討論法.
●教具準備
三角形紙片數張.
投影片三張
第一張：問題
第二張：實驗
第三張：小明的想法●教學過程
ⅰ.巧設現實情境，引入新課
問題：工人師傅將凹型零件（圖6－34）加工成斜面ec與槽底cd成55°的燕尾槽（圖6－35）的程式是：將垂直的銑刀傾斜偏轉35°角（圖6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.
圖6－34 圖6－35 圖6－36
為什麼銑刀偏轉35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？
ⅱ.講授新課
用橡皮筋構成△abc，其中頂點b、c為定點，a為動點（如圖6－37），放鬆橡皮筋後，點a自動收縮於bc上，請同學們考察點a變化時所形成的一系列的三角形：△a1bc、△a2bc、△a3bc……其內角會產生怎樣的變化呢？
圖6－37
得出結論：當點a離bc越來越近時,∠a越來越接近180°,而其他兩角越來越接近於0°。三角形各內角的大小在變化過程中是相互影響的。三角形的最大內角不會大於或等於180°。
當點a遠離bc時，∠a越來越趨近於0°,而ab與ac逐漸趨向平行，這時，∠b、∠c逐漸接近為互補的同旁內角.即∠b+∠c→180°.
實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行（圖6－38（1））然後把另外兩角相向對折，
使其頂點與已折角的頂點相嵌合（圖（2）、（3）），最後得圖（4）所示的結果.
（12） （3） （4）
圖6－38
實驗2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起.
得出：三角形的內角之和正好為乙個平角.
但觀察與實驗得到的結論，並不一定正確、可靠，這樣就需要通過數學證明.那麼怎樣證明呢？請同學們再來看實驗.
圖6－39
這裡有兩個全等的三角形，我把它們重疊固定在黑板上，然後把三角形abc的上層∠b剝下來，沿bc的方向平移到∠ecd處固定，再剝下上層的∠a，把它倒置於∠c與∠ecd之間的空隙∠ace的上方.
這時，∠a與∠ace能重合嗎？
圖6－40
已知，如圖6－40，△abc.
求證：∠a+∠b+∠c=180°
證明：作bc的延長線cd，過點c作射線ce∥ab.則
∠ace=∠a（兩直線平行，內錯角相等）
∠ecd=∠b（兩直線平行，同位角相等）
∵∠acb+∠ace+∠ecd=180°（1平角=180°）
∴∠a+∠b+∠acb=180°（等量代換）
即：∠a+∠b+∠c=180°.
在證明過程中，我們僅僅添畫了一條射線ce，使處於原三角形中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了.為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何裡，輔助線通常畫成虛線.
我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的內角和等於180°是真命題，這時稱它為定理.即：三角形的內角和定理.
小明也在證明三角形的內角和定理，他是這樣想的.大家來議一議，他的想法可行嗎？
圖6－41
在證明三角形內角和定理時，小明的想法是把三個角「湊」到a處，他過點a作直線pq∥bc.（如圖6－41）他的想法可行嗎？
你有沒有其他的證法.
小明的想法可行.因為：
∵pq∥bc（已作）
∴∠pab=∠b（兩直線平行，內錯角相等）
∠qac=∠c（兩直線平行，內錯角相等）
∵∠pab+∠bac+∠qac=180°（1平角=180°）
∴∠b+∠bac+∠c=180°（等量代換）
圖6－42
也可以這樣作輔助線.即：作ca的延長線ad，過點a作∠dae=∠c（如圖6－42）.
也可以在三角形的一邊上任取一點，然後過這一點分別作另外兩邊的平行線，這樣也可證出定理.
即：如圖6－43，在bc上任取一點d，過點d分別作de∥ab交ac於e，df∥ac交ab於f.
∴四邊形afde是平行四邊形（平行四邊形的定義）
∠bdf=∠c（兩直線平行，同位角相等）
∠edc=∠b（兩直線平行，同位角相等）
∴∠edf=∠a（平行四邊形的對角相等）
∵∠bdf+∠edf+∠edc=180°（1平角=180°）
∴∠a+∠b+∠c=180°（等量代換）
ⅲ.課堂練習
（一）課本p196隨堂練習1、2.
圖6－44
1.直角三角形的兩銳角之和是多少度？等邊三角形的乙個內角是多少度？請證明你的結論.
答案：90° 60°
如圖6－44，在△abc中，∠c=90°
∵∠a+∠b+∠c=180°
∴∠a+∠b=90°.
圖6－45
如圖6－45，△abc是等邊三角形，則：∠a=∠b=∠c.
∵∠a+∠b+∠c=180°
∴∠a=∠b=∠c=60°
2.如圖6－46,已知，在△abc中，de∥bc，∠a=60°,∠c=70°,求證：∠ade=50°.
證明：∵de∥bc（已知）
∴∠aed=∠c（兩直線平行，同位角相等）
∵∠c=70°（已知）
∴∠aed=70°（等量代換）
∵∠a+∠aed+∠ade=180°（三角形的內角和定理）
∴∠ade=180°－∠a－∠aed（等式的性質）
∵∠a=60°（已知）
∴∠ade=180°－60°－70°=50°（等量代換）
（二）讀一讀p197.
（三）看課本p195~196，然後小結.
ⅳ.課時小結
這堂課，我們證明了乙個很有用的三角形內角和定理.證明的基本思想是：運用輔助線將原三角形中處於不同位置的三個內角集中在一起，拼成乙個平角.
輔助線是聯絡命題的條件和結論的橋梁，今後我們還要學習它.
ⅴ.課後作業
（一）課本p198習題6.6 1、2
（二）1.預習內容p199~200
2.預習提綱
（1）三角形內角和定理的推論是什麼？
（2）三角形內角和定理的推論的應用.
ⅵ.活動與**
1.證明三角形內角和定理時，是否可以把三角形的三個角「湊」到bc邊上的一點p？（如圖6－47（1）），如果把這三個角「湊」到三角形內一點呢？
（如圖6－47（2））「湊」到三角形外一點呢？（如圖6－47（3）），你還能想出其他證法嗎？
（123）
圖6－47
［過程］讓學生在證明這個題的過程中，進一步了解三角形內角和定理的證明思路，並且了解一題的多種證法，從而拓寬學生的思路.
［結果］證明三角形內角和定理時，既可以把三角形的三個角「湊」到bc邊上的一點p，也可以把三個角「湊」到三角形內一點；還可以把這三個角「湊」到三角形外一點.
●板書設計
§6.5 三角形內角和定理的證明
一、三角形內角和定理
三角形三個內角的和等於180°
圖6－48
已知，如圖6－48，△abc.
求證：∠a+∠b+∠c=180°
證明：作bc的延長線cd，過點c作射線ce∥ba，則：∠a=∠ace（）
∠ecd=∠b（）
∵∠ecd+∠ace+∠acb=180°（）
∴∠a+∠b+∠acb=180°（）
二、議一議
三、課堂練習
四、課時小結
五、課後作業
三角形內角和定理的證明教學設計
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《三角形內角和定理的證明》教學設計
一 課題 三角形內角和定理的證明 二 教材 青島版第五章第五節 三 學習目標 1 知識與技能目標 學生由對三角內角和定理感性認識上公升到理性推理證明，掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。2 過程與方法目標 學生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察 操作 推理 歸納等探索過程...
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