數學複習專題——解三角形
複習要點
1．正弦定理:或變形：.
2．餘弦定理：或 .
3．（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.
（2）兩類餘弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.
2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.
4．判定三角形形狀時，可利用正餘弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式.
5．解題中利用中，以及由此推得的一些基本關係式進行三角變換的運算，如：
.一．正、餘弦定理的直接應用：
1、δabc中,a=1,b=, ∠a=30°,則∠b等於
a．60° b．60°或120° c．30°或150° d．120°
2、在δabc中，角對應的邊分別是，若，求
3、在δabc中，若sδabc= (a2+b2－c2),那麼角∠c=______.
4．若△abc的周長等於20，面積是10，a＝60°，則bc邊的長是（ ）
a．5b．6c．7d．8
5．在△abc中，c－a＝，sinb＝.
(1)求sina的值；(2)設ac＝，求△abc的面積．
6．在△abc中，若，且，邊上的高為，求角的大小與邊的長
二．判斷三角形的形狀
7、在銳角三角形abc中，有
a．cosa>sinb且cosb>sina b．cosac．cosa>sinb且cosbsina
8、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sina=2sinbcosc, 那麼δabc是
a．直角三角形 b．等邊三角形 c．等腰三角形 d．等腰直角三角形
9、鈍角δabc的三邊長分別為x,x+1,x+2，其最大角不超過120°則實數x的取值範圍是：
10.已知、、分別是的三個內角、、所對的邊
（1）若面積求、的值；
（2）若，且，試判斷的形狀．
三．測量問題
11．在200 m高的山頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為( )
a. mb. m c. md. m
12．測量一棵樹的高度，在地面上選取給與樹底共線的a、b兩點，從a、b兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且ab=60公尺，則樹的高度為多少公尺？
13.如圖，四邊形abcd中，∠b＝∠c＝120°，ab＝4，bc＝cd＝2，則該四邊形的面積等於( )
a. b．5 c．6 d．7
14.一緝私艇發現在北偏東方向,距離12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿東偏南方向逃竄.緝私艇的速度為14 nmile/h, 若要在最短的時間內追上該走私船,緝私艇應沿北偏東的方向去追,.
求追及所需的時間和角的正弦值.
15.如圖，某市郊外景區內一條筆直的公路a經過三個景點a、b、c.景區管委會又開發了風景優美的景點d.
經測量景點d位於景點a的北偏東30°方向上8 km處，位於景點b的正北方向，還位於景點c的北偏西75°方向上，已知ab＝5 km.
(1)景區管委會準備由景點d向景點b修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；(2)求景點c和景點d之間的距離．
四．正、餘弦定理與三角函式，向量的綜合應用
16、設a、b、c為三角形的三內角,且方程(sinb－sina)x2+(sina－sinc)x +(sinc－sinb)=0有等根，那麼三邊a,b,c的關係是
17．在△abc中，，則的最大值是
18．在△abc中，∠c是鈍角，設則的大小關係是
19.△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數列，．
（ⅰ）求的值；（ⅱ）設的值。
20在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a,b,c,設s為△abc的面積，滿足。
（ⅰ）求角c的大小；
（ⅱ）求的最大值。
21、設是銳角三角形，分別是內角所對邊長，並且
。(ⅰ)求角的值；
(ⅱ)若，求（其中）。
22．在銳角△abc中，已知內角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，向量m＝(2sin(a＋c)，)，n＝(cos2b,2cos2－1)，且向量m、n共線．
(1)求角b的大小；
(2)如果b＝1，求△abc的面積s△abc的最大值．
數學解三角形複習專題答案
1．b 23。 45° 4。c
5解：(1)由c－a＝和a＋b＋c＝π，得2a＝－b,0故cos2a＝sinb，即1－2sin2a＝，sina＝.
(2)由(1)得cosa＝.又由正弦定理，得＝，bc＝·ac＝3.
∵c－a＝，∴c＝＋a，sinc＝sin(＋a)＝cosa，
∴s△abc＝ac·bc·sinc＝ac·bc·cosa＝××3×＝3.
6解：所以有，聯立得，，即
當時，當時，∴當時，
當時，。
7．b 8。 d 9。≤a<3.
10解：（1），，得
由餘弦定理得：，所以
（2）由餘弦定理得：，所以。
在中，，所以。所以是等腰直角三角形；
11．a 12。 13。 b
14. 解: 設a,c分別表示緝私艇,走私船的位置,設經過小時後在b處追上, 則有
,所以所需時間2小時,
15．解：(1)在△abd中，∠adb＝30°，ad＝8 km，ab＝5 km，設db＝x km，
則由餘弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，
解得x＝4±3.∵4＋3>8，捨去，∴x＝4－3，∴這條公路長為(4－3)km.
(2)在△adb中，＝，∴sin∠dab＝＝，
∴cos∠dab＝.在△acd中，∠adc＝30°＋75°＝105°，
∴sin∠acd＝sin[180°－(∠dac＋105°)]＝sin(∠dac＋105°)
＝sin∠daccos105°＋cos∠dacsin105°＝·＋·＝.
∴在△acd中，＝，∴＝，∴cd＝km.
16．a+c=2b 1718．
19．解：（ⅰ）由
由b2=ac及正弦定理得
於是（ⅱ）由
由餘弦定理 b2=a2+c2－2ac+cosb 得a2+c2=b2+2ac·cosb=5.
22．解：(1)∵m∥n，∴2sin(a＋c)(2cos2－1)－cos2b＝0.
又∵a＋c＝π－b，∴2sinbcosb＝cos2b，即sin2b＝cos2b.
∴tan2b＝，又∵△abc是銳角三角形，∴0∴0<2b<π，∴2b＝，故b＝.
(2)由(1)知：b＝，且b＝1，由餘弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosb，即a2＋c2－ac＝1.∴1＋ac＝a2＋c2≥2ac，
即(2－)ac≤1，∴ac≤＝2＋，當且僅當a＝c＝時，等號成立．
20．21．
必修5解三角形知識點和練習題含答案
解三角形1 複習要點 1 正弦定理 或變形 2 餘弦定理 或 3 1 兩類正弦定理解三角形的問題 1 已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.2 已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.2 兩類餘弦定理解三角形的問題 1 已知三邊求三角.2 已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.4 判定三角形形狀...
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