1. 三角函式恒等變形公式
（1）兩角和與差公式
（2）二倍角公式
（3）三倍角公式
（4）半形公式
（5）萬能公式
， ，（6）積化和差，，
，（7）和差化積，，
，2. 網路結構
3. 基礎知識疑點辨析
（1）正弦、余弦的和差角公式能否統一成乙個三角公式？
實際上，正弦、余弦的和角公式包括它們的差角公式，因為在和角公式中，是乙個任意角，可正可負。另外，公式雖然形式不同，結構不同，但本質相同：。
（2）怎樣正確理解正切的和差角公式？
正確理解正切的和差角公式需要把握以下三點：
①推導正切和角公式的關鍵步驟是把公式，右邊的「分子」、「分母」都除以，從而「化弦為切」，匯出了。
②公式都適用於為任意角，但運用公式時，必須限定，都不等於。
③用代替，可把轉化為，其限制條件同②。
（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些應用？
①不用計算器或查表，只通過筆算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函式值。
②能由兩個單角的三角函式值，求得它們和差角的三角函式值；能由兩個單角的三角函式值與這兩個角的範圍，求得兩角和的大小（注意這兩個條件缺一不可）。
③能運用這些和（差）角公式以及其它有關公式證明三角恒等式或條件等式，化簡三角函式式，要注意公式可以正用，逆用和變用。運用這些公式可求得簡單三角函式式的最大值或最小值。
（4）利用單角的三角函式表示半形的三角函式時應注意什麼？
先用二倍角公式匯出，再把兩式的左邊、右邊分別相除，得到，由此得到的三個公式：， ，分別叫做正弦、余弦、正切的半形公式。公式中根號前的符號，由所在的象限來確定，如果沒有給出限制符號的條件，根號前面應保持正、負兩個符號。
另外，容易證明 。
4. 三角函式變換的方法總結
三角學中，有關求值、化簡、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經常涉及到運用三角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個初等數學中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由於三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內在聯絡的理解，而且對發展數學邏輯思維能力，提高數學知識的綜合運用能力都大有益處。下面通過例題的解題說明，對三角恒等變換的解題技巧作初步的**研究。
（1）變換函式名
對於含同角的三角函式式，通常利用同角三角函式間的基本關係式及誘導公式，通過「切割化弦」，「切割互化」，「正餘互化」等途徑來減少或統一所需變換的式子中函式的種類，這就是變換函式名法．它實質上是「歸一」思想，通過同一和化歸以有利於問題的解決或發現解題途徑。
【例1】已知θ同時滿足和,且a、b均不為0，求a、b的關係。
解析：已知
顯然有：
由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0
即有：acosθ＋b=0
又 a≠0
所以，cosθ＝－b/a ③
將③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a
即a4＋b4＝2a2b2
∴ （a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜
點評：本例是「化弦」方法在解有關問題時的具體運用，主要利用切割弦之間的基本關係式。
（2）變換角的形式
對於含不同角的三角函式式，通常利用各種角之間的數值關係，將它們互相表示，改變原角的形式，從而運用有關的公式進行變形，這種方法主要是角的拆變．它應用廣泛，方式靈活，如α可變為（α＋β）－β；2α可變為2α－β可變為2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半形等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
解析：設θ＋15°＝α，則
原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα
＝（sinαcos60°＋cosαsin60° ）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα
＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα
＝0點評：本例選擇乙個適當的角為「基本量」，將其餘的角變成某特殊角與這個「基本量」的和差關係，這也是角的拆變技巧之一。
【例3】已知sinα＝ａsin（α＋β） （其中cosβ≠a），試證明：tan（α＋β）＝
證明：已知條件可變為：sinsin （α＋β）
所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝ａsin （α＋β）
∴ sin （α＋β）（ cosβ－ａ）＝cos （α＋β） sinβ
∴ tan（α＋β）＝
點評：在變換中通常用到視「復角」為「單角」的整體思想方法，它往往是尋找解題突破的關鍵。
（3）以式代值
利用特殊角的三角函式值以及含有1的三角公式，將原式中的1或其他特殊值用式子代換，往往有助於問題得到簡便地解決。這其中以「1」的變換為最常見且最靈活。「1」可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根據解題的需要，適時地將「1」作某種變形，常能獲得較理想的解題方法。
【例4】化簡：
解析：原式＝
＝＝＝點評：1＝「」的正用、逆用在三角變換中應用十分廣泛。
（4）和積互化
積與和差的互化往往可以使問題得到解決，公升冪和降次實際上就是和積互化的特殊情形。這往往用到倍、半形公式。
【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
解析：原方程變形為：
（1－cos2x）＋（1－cos4x）＝（1－cos6x）
即1＋cos6x ＝cos2x＋cos4x
2cos23x ＝2cos3x cosx
得： cos3x sin2x sinx ＝0
解得： x＝＋ 或 x＝ （）
∴ 原方程的解集為｛x| x＝＋ 或 x＝,｝
點評：題中先降次後公升冪，這種交錯使用的方法在解三角方程中時有出現，其目的是為了提取公因式。
（5）添補法
與代數恒等變換一樣，在三角變換中有時應用添補法對原式作一定的添項裂項會使某些問題很便利地得以解決。將原式「配」上乙個因子，同時除以這個式子也是添補法的一種特殊情形。
【例6】求證：＝
證明：左邊＝
＝＝＝＝＝右邊
∴ 原式成立。
點評：本例中採用「加一項再減去一項」，「乘一項再除以一項」的方法，其技巧性較強，目的都是為了便於分解因式進行約分化簡。
（6）代數方法
三角問題有時稍作置換，用各種代數方法對三角函式式作因式分解、等量置換等的變形，從而將三角問題轉換成代數問題來解，而且更加簡捷。這其中有設元轉化、利用不等式等方法。
【例7】銳角α、β滿足條件，則下列結論中正確的是（ ）
a.α+β≠ b. α+β＜
c. α+β＞ d. α+β＝
解析：令sin,則有
整理得： （a－b）2＝0 即a＝b
即： sin2α＝cos2β （α，β同為銳角）
∴ sinα＝cosβ
∴ α＋β＝，故應選d。
點評：本例用設元轉化法將三角問題轉化為代數問題。換元法這種數學思想應用十分廣泛，往往能收到簡捷解題的效果．
（7）數形結合
有的三角變換問題蘊含著豐富的幾何直觀，此時若能以數思形，數形滲透，兩者交融，則可開闢解題捷徑。利用單位圓，構造三角形，利用直線、曲線的方程等方法都是數形結合的思想。
【例9】已知：，，求的值。
解析：∵點ａ，ｂ均在單位圓上。
由已知條件知：ab的中點座標為ｃ（1/6,1/8），即直線ａｂ過
定點c如下圖所示
∠xoc＝∴
∴據萬能公式得：
點評：本題用和差化積公式也不難求得，但在三角問題中利用單位圓是常見的研究方法。數形結合方法在三角變換中應用型別頗多，篇幅所限，僅舉一例，本文不贅。從
六、七兩種方法可以看出，將代數、幾何與三角有機聯絡起來，綜合運用，在解三角變換題中，不僅構思精巧，過程簡易，趣味橫生，而且還溝通數學知識的縱橫關係，也有利於多向探求，廣泛滲透，提高和發展學生的創造性思維能力。
以上**了三角變換中的七種變換思想和解題方法，在實際解題中這些方法是交織在一起的，混合於同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善於公式的變形運用，同時注意縱橫聯絡數學知識用發散性的思維考慮問題。三角變換的技巧除了以上七個方面外，還有平方消元，萬能置換，利用正餘弦定理進行邊角轉換，利用輔助角，借用複數表示等方法我們以後有機會再介紹。
5. 非特殊角的化簡、求值問題的解題方法**
非特殊角的化簡求值是給角求值中一類常見的三角求值型別，對於此類求值問題，由於涉及到的三角公式及其變形靈活多樣，因而如何利用三角公式迅速準確的求值應是解決這類問題的重點，現在我們通過乙個題目的解法探尋，體會非特殊角三角函式的求法。
【題目】求的值。
分析1：這是一道給角求值中非特殊角的化簡求值問題，仔細觀察可看出在所求式子中有一項是正切函式、一項是正弦函式，因此通常運用切割化弦，然後通過通分化簡，使其化為特殊的三角函式值。
解法1：
點評：通分以後，要將和式轉化為積式，需將拆項為，這是將和式轉化為積式中常用的變形手段，在將和差化積後要盡可能的出現特殊角特殊值，這樣才有可能使化簡得以進行下去。
分析2：運用切割化弦，通過通分化簡後，若不考慮將和式轉化為積式，而是對角進行變換，觀察到運算的式子中出現的兩角為20°，40°，與特殊角比較則會有60°－40°＝20°，變角後再應用兩角差的正弦公式展開進行化簡。
解法2：
分析3：我們在運用「切割化弦」時，若不利用商數關係，而是將 tan200利用半形公式進行化弦，也能進行求值。
解法3：
分析4：從以上路徑可以看出，而是乙個特殊的三角函式值，考慮它等於什麼呢？，因而考慮可否會有，這樣問題就轉化為等式的驗證。
解法4：
∴有點評：本路徑採用了綜合法，只進行等式的驗證，問題就得以解決。
分析5：利用倍角公式可得到，能否再對角進行適當的變換，出現特殊角，我們發現40°＝60°一20°，這樣變角後利用兩角差的正弦公式展開化簡，也能求值。
三角恒等變換單元練習
單元測試三三角恒等變換 一 選擇題 1 sin15 cos75 cos15 sin75 等於 a 0 b c d 1 2 若 3，則tan 等於 a 2 b c d 2 3 下列函式中，週期為的是 a b y sinxcosx c d y cos22x sin22x 4 下列各式中，值為的是 a 2...
三角恒等變換
第3講三角函式的恒等變換 知識梳理 1兩角和與差的三角函式公式 2.二倍角公式 要點突破 問題1 如何由兩角和正弦 余弦 正切公式得到二倍角的正弦 余弦 正切公式？1 令，便可由兩角和的三角函式公式，得到對應的二倍角的三角函式公式，即 問題2 解決三角求值問題時，要注意什麼？2 要注意分析角的範圍，...
三角恒等變換
解析由題意，得sin cos 3 所以cos 2 cos 2 2cos2 1 1 2cos2 答案 b 解析 s acsinb 2，1 c sin 45 2.c 4.b2 a2 c2 2accos b 1 32 2 1 4 cos 45 b2 25，b 5.答案 a 解析由sin acos a si...