指數函式
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根，其中》1，且∈*．
負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。
當是奇數時，，當是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
3．實數指數冪的運算性質
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
（二）指數函式及其性質
1、指數函式的概念：一般地，函式叫做指數函式，其中x是自變數，函式的定義域為r．
注意：指數函式的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函式的圖象和性質
注意：利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或
（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；
（3）對於指數函式，總有；
指數函式·例題解析
【例1】求下列函式的定義域與值域：
解 (1)定義域為x∈r且x≠2．值域y＞0且y≠1．
(2)由2x+2－1≥0，得定義域，值域為y≥0．
(3)由3－3x-1≥0，得定義域是，∵0≤3－3x－1＜3，
練習：（1）； （2）； （3）；
【例2】指數函式y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的影象如圖2．6－2所示，則a、b、c、d、1之間的大小關係是 [ ]
a．a＜b＜1＜c＜d
b．a＜b＜1＜d＜c
c． b＜a＜1＜d＜c
d．c＜d＜1＜a＜b
解選(c)，在x軸上任取一點(x，0)，
則得b＜a＜1＜d＜c．
練習：指數函式① ② 滿足不等式 ,則它們的圖象是 ( ).
【例3】比較大小：
(3)4.54.1________3.73.6
解 (3)借助數4.53.6打橋，利用指數函式的單調性，4.
54.1＞4.53.
6，作函式y1＝4.5x，y2＝3.7x的影象如圖2．6－3，取x＝3.
6，得4.53.6＞3.
73.6
∴ 4.54.1＞3.73.6．
說明如何比較兩個冪的大小：若不同底先化為同底的冪，再利用指數函式的單調性進行比較，如例2中的(1)．若是兩個不同底且指數也不同的冪比較大小時，有兩個技巧，其一借助1作橋梁，如例2中的(2)．其二構造乙個新的冪作橋梁，這個新的冪具有與4.54.
1同底與3.73.6同指數的特點，即為4.
53.6(或3.74.
1)，如例2中的(3)．
練習： （1）1.72.5 與 1.732 )與
( 3 ) 1.70.3 與 0.93.1和
【例5】作出下列函式的影象：
(3)y＝2|x-14)y＝|1－3x|
解 (2)y＝2x－2的影象(如圖2．6－5)是把函式y＝2x的影象向下平移2個單位得到的．
解 (3)利用翻摺變換，先作y＝2|x|的影象，再把y＝2|x|的影象向右平移1個單位，就得y＝2|x-1|的影象(如圖2．6－6)．
解 (4)作函式y＝3x的影象關於x軸的對稱影象得y＝－3x的影象，再把y＝－3x的影象向上平移1個單位，保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方的影象以x軸為對稱軸翻摺到x軸上方而得到．(如圖2．6－7)
(1)判斷f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)證明f(x)在區間(－∞，＋∞)上是增函式．
解 (1)定義域是r．
∴函式f(x)為奇函式．
即f(x)的值域為(－1，1)．
(3)設任意取兩個值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)
單元測試題
一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）
1、化簡，結果是（ ）
a、 b、 c、 d、
2、等於（ ）
abcd、
3、若,且,則的值等於（ ）
abcd、2
4、函式在r上是減函式，則的取值範圍是（ ）
abc、 d、
5、下列函式式中，滿足的是( )
a、 bcd、
6、下列是（ ）
a、奇函式 b、偶函式 c、非奇非偶函式 d、既奇且偶函式
7、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恆成立的有（ ）
a、1個b、2個c、3個d、4個
8、函式是（ ）
a、奇函式 b、偶函式 c、既奇又偶函式 d、非奇非偶函式
9、函式的值域是（ ）
a、 b、 c、 d、
10、已知,則函式的影象必定不經過（ ）
a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限
11、是偶函式，且不恆等於零，則( )
a、是奇函式b、可能是奇函式，也可能是偶函式
c、是偶函式d、不是奇函式，也不是偶函式
12、一批裝置價值萬元，由於使用磨損，每年比上一年價值降低，則年後這批裝置的價值為（ ）
a、 b、 c、 d、
二、填空題：（本題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案填寫在答題紙上）
13、若，則
14、函式的值域是
15、函式的單調遞減區間是
16、若，則
三、解答題：（本題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17、設，解關於的不等式。
18、已知，求的最小值與最大值。
19、設，，試確定的值，使為奇函式。
20、已知函式，求其單調區間及值域。
21、若函式的值域為，試確定的取值範圍。
22、已知函式(1)判斷函式的奇偶性； (2)求該函式的值域；(3)證明是上的增函式。
指數與指數函式同步練習參***
一、二、13、
14、，令，∵,又∵為減函式，∴。
15、，令， ∵為增函式，∴的單調遞減區間為。
16、 0，
三、17、∵,∴在上為減函式，∵, ∴
18、,
∵, ∴.
則當,即時,有最小值；當,即時，有最大值57。
19、要使為奇函式，∵,∴需,
∴,由,得,。
20、令,，則是關於的減函式，而是上的減函式，上的增函式，∴在上是增函式，而在上是減函式，又∵, ∴的值域為。
21、，依題意有
即，∴由函式的單調性可得。
22、（1）∵定義域為,且是奇函式；
（2）即的值域為；
（3）設,且，
(∵分母大於零，且)
∴是上的增函式。
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