第18講用「組合法」解工程問題
一、知識要點
在解答工程問題時，如果對題目提供的條件孤立、分散、靜止地看，則難以找到明確的解題途徑，若用「組合法」把具有相依關係的數學資訊進行恰當組合，使之成為乙個新的基本單位，便會使隱蔽的數量關係立刻明朗化，從而順利找到解題途徑。
二、精講精練
【例題1】一項工程，甲、乙兩隊合作15天完成，若甲隊做5天，乙隊做3天，只能完成工程的，乙隊單獨完成全部工程需要幾天？
【思路導航】此題已知甲、乙兩隊的工作效率和是，只要求出甲隊貨乙隊的工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點，用「組合法」將甲隊獨做5天，乙隊獨做3天，組合成甲、乙兩隊合作了3天後，甲隊獨做2天來考慮，就可以求出甲隊2天的工作量－×3＝，從而求出甲隊的工作效率。所以1÷[－（－×3）÷（5－3）]＝20（天）
答：乙隊單獨完成全部工程需要20天。
練習1：
1．師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了3天，因事外出，由徒弟接著做1天，共完成任務的。如果這批零件由師傅單獨做，多少天可以完成？
2．某項工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。如果這項工程由甲隊獨做2天，再由乙隊獨做3天，能完成全部工程的。甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？
【例題2】一項工程，甲隊獨做12天可以完成。甲隊先做了3天，再由乙隊做2天，則能完成這項工程的。現在甲、乙兩隊合做若干天後，再由乙隊單獨做。
做完後發現兩段所用時間相等。求兩段一共用了幾天？
【思路導航】此題很容易先求乙隊的工作效率是：（－×3）÷2＝；再由條件「做完後發現兩段所用時間相等」的題意，可組合成由兩個乙隊和乙個甲隊合做需若干天完成，即可求出相等的時間。
（1）乙隊每天完成這項工程的（－×3）÷2＝
（2）兩段時間一共是1÷（×2+）×2＝6（天）
答：兩段時間一共是6天。
練習2：
1．一項工程，甲隊獨做15天完成。若甲隊先做5天，乙隊再做4天能完成這項工程的。現由甲、乙兩隊合做若干天後，再由乙隊單獨做。
做完後發現，兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天？
2．一項工程，甲、乙合做8天完成。如果先讓甲獨做6天，再由乙獨做，完成任務時發現乙比甲多了3天。乙獨做這項工程要幾天完成？
【例題3】移栽西紅柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小時完成，先由哥哥栽了3小時後，又由弟弟栽了1小時，還剩總棵數的沒有栽，已知哥哥每小時比弟弟每小時多栽7棵。共要移栽西紅柿苗多少棵？
【思路導航】把「哥哥先栽了3小時，弟弟又栽了1小時」組合成「哥、的合栽了1小時後，哥哥又獨做了2小時」，就可以求出哥哥每小時栽總數的幾分之幾。
哥哥每小時栽總數的幾分之幾（1－－×1）÷（3－1）＝
一共要移栽的西紅柿苗多少棵7÷[－（－）]＝112（棵）
答：共要移栽西紅柿苗112棵。
練習3：
1．加工一批機器零件，師、徒合做12小時可以完成。先由師傅加工8小時，接著再由徒弟加工6小時，共加工了這批零件的。已知師傅每小時比徒弟多做10個零件。這批零件共有多少個？
2．修一條公路，甲、乙兩隊合做6天可以完成。先由甲隊修5天，再由乙隊修3天，還剩這條公路的沒有修。已知甲隊每天比乙隊多修20公尺。這條公路全長多少公尺？
【例題4】一項工作，甲、乙、丙3人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時後，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的；如果甲、乙合做3小時後，丙做6小時，也可以完成這項工作的。如果由甲、丙合做，需幾小時完成？
【思路導航】將條件「甲工作6小時後，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的」組合成「甲工作4小時，甲、乙、丙合做2小時可以完成這項工作的」，則求出甲的工作效率。同理，運用「組合法」再求出丙的工作效率。
甲每小時完成這項工程的幾分之幾（－×2）÷（6－2）＝
丙每小時完成這項工程的幾分之幾（－×3）÷（6－3）＝
甲、丙合做需完成的時間為：1÷（+）＝（小時）
答：甲、丙合做完成需要小時。
練習4：
1．一項工作，甲、乙、丙三人合做，4小時可以完成。如果甲做4小時後，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的；如果甲、乙合做2小時後，丙再做4小時，可以完成這項工作的。這項工作如果由甲、丙合做需幾小時完成？
2．一項工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。現在先由甲、乙、丙合做3天後，餘下的乙再做6天則可以完成。乙獨做這項工程要幾天就可以完成？
【例題5】一條公路，甲隊獨修24天可以完成，乙隊獨修30天可以完成。先由甲、乙兩隊合修4天，再由丙隊參加一起修7天後全部完成。如果由甲、乙、丙三隊同時開工修這條公路，幾天可以完成？
【思路導航】將條件「先由甲、乙兩隊合修4天，再由丙隊參加一起修7天後全部完成」組合成「甲、乙兩隊各修（4+7）＝11天後，再由丙隊單獨修了7天才全部完成。」就可以求出丙隊的工作效率。
丙隊每天修這條公路的[1－（+）]×（4+7）＝
三隊合修完成時間為1÷（++）＝10（天）
答：10天可以完成。
練習5：
1．一件工作，甲單獨做12小時完成。現在甲、乙合做4小時後，乙又用6小時才完成。這件工作始終由甲、乙合做幾小時可以完成？
2．一條水渠，甲隊獨挖120天完成，乙隊獨挖40天完成。現在兩隊合挖8天，剩下的由丙隊加入一起挖，又用12天挖完。這條水渠由丙隊單獨挖，多少天可以完成？
三、課後作業家長簽字得分
1．甲、乙兩隊合做，20天可完成一項工程。先由甲隊獨做8天，再由乙隊獨做12天，還剩這項工程的。甲、乙兩隊獨做各需幾天完成？
2．某工作，甲單獨做要12天，乙單獨做要18天，丙單獨做要24天。這件工作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數是甲3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙的2倍。終於完成了這一工作。
問總共用了多少天？
3．修一段公路，甲隊獨修要40天，乙隊獨修要用24天。兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750公尺處相遇。這段公路全長多少公尺？
4．一件工作，甲、乙合做4小時完成，乙、丙合做5小時完成。現在由甲、丙合做2小時後，餘下的由乙6小時完成。乙獨做這件工作需幾小時才能完成？
5．一項工程，甲、乙兩隊合做30天完成，甲隊單獨做24天後，乙隊加入，兩隊又合做了12天。這時甲隊調走，乙隊又繼續做了15天才完成。甲隊獨做這項工程需要多少天？
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