一、定義描述（8』）
1、群：設g是乙個非空集合， 是它的乙個代數運算。如果滿足以下條件：
（1）結合律成立，即對g中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.
（2）g中有元素e.叫做g的左單位元，它對g中每個元素a都有e a = a .
（3）對g中每個元素a，在g中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .
則稱g對代數運算做成乙個群。
2、正規子群：設n是群g的乙個子群，如果對g中每個元素a都有 an=na，即 ana-1=n ，則稱n是群g的乙個正規子群（或不變子群）。
3、環：設非空集合r有兩個代數運算，乙個叫做加法並用加號 + 表示，另乙個叫做乘法用乘號表示，如果：
（1）r對加法作成乙個**；
（2）r對乘法滿足結合律：（ab）c = a（bc）；
（3）乘法對加法滿足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .
其中a，b，c為r中任意元素，則稱r對這兩個代數運算作成乙個環。
4、極大理想：設n是環r的乙個理想，且n≠r .如果除r和n外，r中沒有包含n的其它理想，則稱n為環r的乙個極大理想。
5、惟一分解整環：設k是有單位元的整環。如果k中每個既不是零又不是單位的元素都能惟一分解，則稱k為惟一分解整環。整數環z及域f上多項式環f[ x ]都是惟一分解整環。
6、歐氏環：設k是乙個有單位元的整環，如果
（1）有乙個從k的非零元集k – 到非負整數集的對映ψ存在；
（2）這個ψ對k中任意元素a及b≠0，在k中有元素q，r使a=bq + r，r=0
或ψ（r）＜ψ（b），則稱r關於ψ作成乙個歐氏環
7、素理想：設r是乙個交換環，p r .如果ab∈p => a∈p或b∈p，其中a，b∈r，則稱p是r的乙個素理想。
顯然，環r本身是r的乙個素理想；又零理想是r的素理想當且僅當r無零因子，
亦即r是乙個整環。
8、主理想：設r是乙個環，任取a∈r，r中包含a的全部理想的交也是r的乙個理想，且是r的包含元素a的最小理想，並稱其為r的由a生成的主理想，記為< a > .
9、理想：設n是環r的乙個子**，即對n中任意元素a，b，差a-b仍屬於n，如果又有 r∈r，a∈n => ra∈n，則稱n是環r的乙個左理想；
如果 r∈r，a∈n => ar∈n，則稱n是環r的乙個右理想；
如果n既是r的左理想又是右理想，則稱n是環r的乙個雙邊理想，簡稱理想，並用
符號n r表示。否則記為n r .
10、商群：群g的正規子群n的全體陪集對於陪集的乘法作成乙個群，稱為g關於n的商群，記為g/n .
11、主理想環：設k是乙個有單位元的整環。如果k的每乙個理想都是乙個主理想，則稱k是乙個主理想整環。
整數環和域f上的多項式環f[ x]都是主理想整環。但是，整數環z上的多項式環z[ x]不是乙個主理想整環。
二、填空（30』）
1、集合m的乙個分類決定m的乙個等價關係。
2、集合m的乙個等價關係決定m的乙個分類。
3、設g是乙個半群，則g作為成群的充要條件是，對g中任意元素a、b，
方程ax=b , ya=b在g中都有解。
4、群g的乙個非空子集h作成子群的充要條件是：
（1）a，b∈h => ab∈h ;
（2）a∈h => a-1∈h.
5、設h,k是群g的兩個子群，則hk≤g hk=kh.
6、整數**z是無限迴圈群。
7、無限迴圈群有兩個生成元，即a與a-1；n階迴圈群有ψ（n）個生成元，
其中ψ（n）為euler函式。
例如，4、5、6階迴圈群分別有ψ（4）=2 ，ψ（5）=4 ，ψ（6）=2 個生成元。
8、設是任意乙個迴圈群。
（1）若|a|=∞，則與整數**z同構；
（2）若|a|=n，則與n次單位根群un 同構。
9、迴圈群的子群仍為迴圈群。
10、不相連迴圈相乘時可以交換。
11、k—迴圈的階為k；不相連迴圈乘積的階為各因子的階的最小公倍。
12、（設h是有限群g的乙個子群，則|g|=|h|（g：h）.從
而任何子集的階和指數都是群g的階的因數。
13、有限群中每個元素的階都整除群的階。
14、左陪集的重要性質
（1）a∈ah . （2）a∈h ah=h . （3）b∈ah ah=bh .
（4）ah=bh，即a與b同在乙個左陪集中 a-1b∈h（或b-1a∈h）。
（5）若ah∩bh≠φ，則ah=bh .對任二陪集來說，要麼相等要麼無公共元素。
15、迴圈群的商群也是迴圈群。
16、（第一同構定理）設ψ是群g到g的乙個同態滿射，又kerψ n g，n=ψ（n），
則g/n ≌ g/n .
17、（第二同構定理）設g是群，又h≤g，n g .則h∩n h，並且hn/n≌h/(h∩n) .
18、（第三同構定理）設g是群，又n g，h≤g/n .則
（1）存在g的惟一子群h n，且h=h/n ；
（2）又當h g/n時，有惟一的h g使h=h/n且g/h≌g/n／h/n .
19、設g是乙個群，a∈g，則
（1）σa：x —> axa-1 （x∈g）是g的乙個自同構，稱為g的乙個內自同構；
（2）g的全體內自同構作成乙個群，稱為群g的內自同構群，記為inn g；
（3）inn g aut g .
20、環r的非空子集s作成子環的充要條件是：
a，b∈s => a - b∈s ， a，b∈s => ab∈s .
21、如果p是素數，則環zp是乙個域；如果n是合數，則環zn有零因子，從而不是域。
22、（環同態基本定理）設r與r是兩個環，且r ~ r . 則
（1）這個同態核n，即零元的全體逆象，是r的乙個理想；
（2）r/n ≌r．
23、設p是交換環r的乙個理想。則p是r的素理想的充分與必要條件是，商環r/p無
零因子，即為整環。
24、整數環z的理想n是z的極大理想，當且僅當n是由素數生成的理想。
25、整環k中的元素一定是不可約元。
26、設k是任意乙個惟一分解整環。則p是k的元素當且僅當p是k的不可約元。
27、設k是有單位元的整環。如果
（1）k中每個既不是零又不是單位的元素都可分為不可約元的乘積；
（2）k中的不可約元都是素元；
則k是乙個惟一分解整環。
28、gauss整環z[ i]是主理想整環。
29、整數環z是歐氏環。
30、域f上多項式環f[ x]是乙個歐氏環。
31、歐氏環必是主理想環，因而是惟一分解整環。（反之不成立）
32、主理想整環是惟一分解整環。（反之不成立）
33、群g中關於子群h的互異的左（或右）陪集的個數，叫做h在g裡的指數，記（g：h）.
34、設p∈k .p≠0，且p不是單位。如果p|ab就必有p|a或p|b，則稱p是k的乙個元素。
35、同態：反身、傳遞 （不滿足對稱） ； 同構：反身、傳遞、對稱。
例一、設σ=（14）（235），τ=（153）（24）. 求στσ-1 =？
解：由定理可知：
1 = （σ（1）σ（5）σ（3））（σ（2）σ（4））
425）（24）.
例二、證明：k= 作成交代群a4 的乙個交換子群。這個群（以及與其同構的群）稱為klein（四元群。
證顯然k4 中的置換全為偶置換，而且除恒等置換外其餘三個置換的階都是2，而且
其中任二個相乘等於第三個，即k4 對置換的乘法封閉。從而k4 是a4的乙個子群，且
顯然是乙個交換子群證畢）
例三、證明：z[ i]= 作成乙個有單位元的整環（這個環稱為gauss整環），並
且其單位群是 .
證 z[ i ]作成有單位元的整環顯然。又顯然±1，±i均為其單位。下證：z[ i ]沒有別
的單位。
設ε=a + bi 是z[ i]的任一單位，則有η∈ z[ i ]使 εη=1，|ε|2|η|2 =1 .
這只有|ε|2 =a2 + b2=1，從而只有a=±1，b=0；或a=0，b=±1 .
即ε只能是±1及±i .
因此，±1和±i是環z[ i ]的全部單位。故 u（z[ i ]）= .
例四、在模8剩餘類環z8 中 ，令< 4 >=，< 2 >=，則< 4 >不是z8的素理想
（因為2·2=4∈< 4 >，但是2∈< 4 >），也不是z8的極大理想（因為< 4 > < 2 > z8）.
但是，易知< 2 >既是z8的素理想也是z8的極大理想。
例五、設g=< a > 為6階迴圈群。給出g的一切生成元和g的所有子群。
解： a，a56）=2 .
例六、試求下列各置換的階：τ1=（1378）（24）；【4】 τ2=（1372）（234）；【6】
τ3= 1 2 3 4 5 6
6 4 1 5 2 3 ；【3】
τ4= 1 2 3 4 5 6 7
5 7 6 3 1 4 2 ；【6】
近世代數複習提綱
一 判斷題 1 模剩餘類集合的乙個全體代表團是 2 群的兩個子群的交集仍是的乙個子群 3 模6剩餘類 的生成元為或 4 整環上的一元多項式環是唯一分解環 5 迴圈群一定是有限群 6 整數集合的元間的小於等於關係是的乙個等價關係 7 迴圈群一定是交換群 8 環中的乘法運算滿 換律 9 集合的元間乙個等...
近世代數習題解答
第一章基本概念 1.1 1.4.5.近世代數題解 1.2 2.3.近世代數題解 1.3 1.解 1 與3 是代數運算，2 不是代數運算 2.解這實際上就是m中n個元素可重複的全排列數nn 3.解例如ab e與ab ab a b 近世代數題解近世代數習題解答近世代數題解第一章基本概念 1.11.4.5...
近世代數讀書報告
讀書 報告 近世代數 學院 數學與統計學院 姓名 蔣旭輝 學號 0501090132 專業 數學與應用數學 教育方向 近世代數 之我想 剛開始接觸 近世代數 時，對它一點兒也不了解，總覺得它離我的學習和生活特別遙遠。當我認認真真學習了它之後才發現 原來它一點兒也不難學，從某種意義上來講，它還特別有趣...