1. 判斷下列二元關係是否是等價關係:設；；
；.提示:不是等價關係，因為，即不具有反身性，儘管具有對稱性、傳遞性；是等價關係，因為具有反身性、對稱性、傳遞性；不是等價關係，因為，即不具有傳遞性,儘管具有反身性、對稱性；不是等價關係，因為，即不具有對稱性,儘管具有反身性、傳遞性．
2.設,是普通數的乘法.證明:與不同構.
提示若與同構,設是使其同構的同構對映.
設,那麼,所以.若,則,顯然矛盾；若,即,則,這樣就有-1,1的象都是0,這與是一一對映矛盾.所以,
與不同構.
3.分別舉乙個無單位元、有左單位元但無單位元、有單位元的半群的例子.
提示是無單位元的半群；設，是具有左單位元但無單位元的半群；,其中分別表示數的普通乘法、矩陣的普通乘法.
4.乙個有限群的每乙個元的階都有限.
提示設是有限群，任取,則不能全不相同,因中只有有限個元素之故．設,則是自然數．命
,則非空,而自然數的非空集合有最小元,設的最小元為,則,即是的週期.
5.設群除單位元以外的每乙個元的週期均為2,則是交換群.
提示 ,因,而,故,由消去律知；任取則有,又,但,故進而,，即是交換群.
6.設的週期為,的週期為, ,且,則的週期為.
提示設的週期為.由於,故,又
,而,故,但,故.同樣可得,再一次利用,有,則有,即的週期為.
7.證明：階是素數的群一定是迴圈群.
提示因,故存在,的週期為,又,而是素數,則,即.
8. 假定群的元的週期是.證明的週期是,這裡是r和n的最大公因子.
提示首先；其次,若有自然數,使得,則,故,又,故有整數,使得,且,那麼,即,但,故,即,從而.
9. 假定群的階為,且.證明：,這裡.
提示因,故存在整數,使得,這樣,有
,故是的乙個生成元,從而．
10.已知置換
(1)求的階；
提示因為,且,
故．(2)求及其階；
提示因為,故,從而.
(3)將表示成形式為的2輪換的乘積.
提示因為, ,所以
.10.假定～是乙個群g的元間的乙個等價關係，並且對於g
的任意三個元來說，有～～。
證明：與g的單位元e等價的元所作成的集合g的乙個子群。
證明：設h=[e],由於～是等價關係，故e～e,即;,則a～e, b～e因而ae～a, be～b,由題設可得e～, e～,由對稱性及傳遞性得～,～e,再由題設得～e即,那麼與g的單位元e等價的元所作成的集合g的乙個子群
11.乙個群的可以寫成形式的元叫做換位子,證明：
(1)所有有限個換位子的乘積組成的集合是的乙個不變子群,稱為的導群或換位子群；
提示由於,；的兩個元的乘積仍是有限個換位子的乘積,因而仍是的乙個元；乙個換位子的逆仍是乙個換位子,所以的乙個元的逆仍是的乙個元,這樣是的乙個子群；對於,，所以是的乙個不變子群.
(2)／是交換群；
令,那麼,由此得,即,因而／是交換群.
(3)若是的乙個不變子群，並且是交換群，那麼.
提示因為是交換群,所以對的任何兩個元和,
,由此得,這樣含有一切換位子,因而含有.
12.證明:有限整環是乙個域.
提示設是乙個有限整環,任取,能證存在即可.
考慮到的對映,此處是的任意元．由於中乘法消去律成立，故.設含有個元,那麼也含有個元,故,即是到的乙個雙射,從而存在,使得,即,故有限整環是乙個域.
13.假定是由所有複數是整數)作成的環,
(1)環有多少元? (2) 證明:是乙個域.
提示是乙個有單位元的可換環,那麼理想的元素形式為
,注意到同奇偶性；而且對任意的,且的奇偶性相同,設,即,則,因此由一切組成,其中同奇偶性；
由此可見對任意的,只要同奇偶性,恒有；若,且奇偶性不相同,恒有,即,從而是僅含有兩個元的域,即.
14.假定是乙個四個元的域．證明：
(1)的特徵值是2
提示的特徵是非零元的週期,並且是乙個素數；作為**的階是4,且,因此.
(2)的不為0或1的兩個元都適合方程.
提示乘群的階是3,因而是乙個迴圈群,而的元是,這樣,其，加法運算表必為:
有,因此f的不等於0或1的兩個元都適合方程.
15.假定是整數環上的一元多項式,
(1)寫出的理想所含元素形式.
提示因為是有單位元的可換環,所以由所有形如:
的元作成,即剛好包含所有多項式:
.(2)證明:不是主理想.
提示假定是主理想,即那麼,因而
但由,可得,即
, 這樣是矛盾的.
(3)證明:若是有理數域,那麼是乙個主理想.
提示若是有理數域,那麼包含有理數,於是,因而它的理想含有單位元1,因此等於主理想(1).
16.環上的乙個一元多項式環.當時整數環時,的理想是不是最大理想？當是有理數域的時候,情形如何?
提示考察的理想,由於的元都可以寫成的形式,其中,所以顯然有.
當是整數環時,不是乙個主理想,因而,因此不是乙個最大理想.
當是有理數域時,設是的乙個理想並且,那麼有,由此得,因此,因而,這就是說,在這一情形下是乙個最大理想.
17. 假定是偶數環,
(1)證明:所有整數是的乙個理想．等式對不對？
提示顯然非空,令是的任意兩個元,由於偶數減偶數還是偶數，
所以,令的任意元,由於偶數乘偶數還是偶數,所以,因此是的乙個理想.由於,而,所以.
(2)證明:是的最大理想,但不是乙個域.
提示 (4)剛好含有一切,這裡是整數.設是的乙個理想,並且, ,那麼有,由此有, ,則,這就是說(4)是的最大理想；在/(4)中[2]\[0],而,因此/(4)有零因子,因而/(4)不是乙個域.
18.設有理數域上的全部矩陣環為.證明:只有零理想同單位理想,但不是乙個除環.
提示設是的乙個理想並且,那麼含有2階矩陣.
若的秩是2,那麼有逆,而,此時；
若的秩是1,則存在可逆矩陣,使得,又
因此因而也有,這就是說只有零理想同單位理想,但
,所以又零因子,因而不是乙個除環.
19.假定有乙個環的分類,而是由所有的類作成的集合,又假定,規定兩個的代數運算.
證明:[0]是的乙個理想,並且給定的類剛好是[0]模的剩餘類.
提示設,那麼;；
於是；；,
因此,故[0]是的乙個理想.
設,那麼,因而；反之設,那麼,
,所以當且僅當,這就是說給定的類剛好是[0]模的剩餘類.
20.找出模6的剩餘類環的零因子、可逆元，所有理想及最大理想.
提示的所有理想有4個,它們為:.
60數學與應用數學專業《近世代數》
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09級西華師大近世代數考試範圍
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線性代數學習總結
應化11 王陽 2110904024 時間真快，一轉眼看似漫長的大一就這樣在不知不覺中接近尾聲。縱觀一年大學的學習和生活，特別是 代的學習過程中，實在是感慨頗多。在此，我就從老師教學和自身學習方面，談談自己的一點體會。老師在教學中，也應該以一些具體的例項入手來教學，如果脫離了實際應用，只是講抽象的概...