2023年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）
數學（理工農醫類）及逐題詳解
本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分，第ⅰ卷第1至第2頁，第ⅱ卷第3至第4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
考生注意事項：
1. 答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的座位號、姓名，並認真核對答題卡上所貼上的條形碼中「座位號、姓名、科類」與本人座位號、姓名、科類是否一致。
2. 答第ⅰ卷時，每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動、用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號。
3. 答第ⅱ卷時，必須用0.5公釐黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫。在試題卷上作答無效。
4. 考試結束，監考員將試題卷和答題卡一併收回。
參考公式：
如果事件a、b互斥，那麼球的表面積公式
如果事件a、b相互獨立，那麼其中r表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次實驗中發生的概率是，那麼
次獨立重複實驗中事件恰好發生次的概率其中r表示球的半徑
第ⅰ卷一．選擇題：
１．設集合，則( )
２．複數( )
３． ( )
４．直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移１個單位，所得到的直線為( )
５．若，則的取值範圍是：( )
６．從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有( )
（ａ）種 （ｂ）種 （ｃ）種 （ｄ）種
7．已知等比數列中，則其前3項的和的取值範圍是( )
８．設是球心的半徑上的兩點，且，分別過作垂線於的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( )
９．設直線平面，過平面外一點與都成角的直線有且只有：( )
（ａ）１條 （ｂ）２條 （ｃ）３條 （ｄ）４條
10．設，其中，則是偶函式的充要條件是( )
11．設定義在上的函式滿足，若，則( )
12．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為( )
第ⅱ卷二．填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。
13．展開式中的係數為
14．已知直線與圓，則上各點到的距離的最小值為_______。
15．已知正四稜柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四稜柱的體積等於
16．設等差數列的前項和為，若，則的最大值為
三．解答題：本大題共6個小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
求函式的最大值與最小值。
18．（本小題滿分12分）
設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。
（ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
（ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
（ⅲ）記表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求的分布列及期望。
19．（本小題滿分12分）
如，平面平面，四邊形與都是直角梯形，
， （ⅰ）證明：四點共面；
（ⅱ）設，求二面角的大小；
20．（本小題滿分12分）
設數列的前項和為，已知
（ⅰ）證明：當時，是等比數列；
（ⅱ）求的通項公式
21．（本小題滿分12分）
設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）證明：當取最小值時，與共線。
22．（本小題滿分14分）
已知是函式的乙個極值點。
（ⅰ）求；
（ⅱ）求函式的單調區間；
（ⅲ）若直線與函式的圖象有3個交點，求的取值範圍。
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