2023年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
文科數學
第ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，則集合（ ）
a． b． c． d．
2．設複數z滿足，則（ ）
a． b． c． d．
3.已知，，則（ ）
a． b． c． d．
4.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）
a．若則 b．若，，則
c．若，，則 d．若，，則
5.設a,b,c是非零向量，已知命題p：若，，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（ ）
a． b． c． d．
6.若將乙個質點隨機投入如圖所示的長方形abcd中，其中ab=2，bc=1，則質點落在以ab為直徑的半圓內的概率是（ ）
a． b． c． d．
7. 某幾何體三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
a． b． c． d．
8. 已知點在拋物線c：的準線上，記c的焦點為f，則直線af的斜率為（ ）
a． b． c． d．
9. 設等差數列的公差為d，若數列為遞減數列，則（ ）
a． b． c． d．
10.已知為偶函式，當時，，則不等式的解集為（ ）
a． b． c． d．
11. 將函式的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函式（ ）
a．在區間上單調遞減
b．在區間上單調遞增
c．在區間上單調遞減
d．在區間上單調遞增
12. 當時，不等式恆成立，則實數a的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
第ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13. 執行右側的程式框圖，若輸入，則輸出
14.已知x，y滿足條件，則目標函式的最大值為
15. 已知橢圓c：，點m與c的焦點不重合，若m關於c的焦點的對稱點分別為a，b，線段mn的中點在c上，則
16. 對於，當非零實數a，b滿足，且使最大時，的最小值為
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. （本小題滿分12分）
在中，內角a，b，c的對邊a，b，c，且，已知，，，求：
（ⅰ）a和c的值；
（ⅱ）的值.
18. （本小題滿分12分）
某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如下表所示：
（ⅰ）根據表中資料，問是否有95%的把握認為「南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異」；
（ⅱ）已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生，其中2名喜歡甜品，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率.
19. （本小題滿分12分）
如圖，和所在平面互相垂直，且，，e、f、g分別為ac、dc、ad的中點.
（ⅰ）求證：平面bcg；
（ⅱ）求三稜錐d-bcg的體積.
附：椎體的體積公式，其中s為底面面積，h為高.
20. （本小題滿分12分）
圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成乙個三角形，當該三角形面積最小時，切點為p（如圖）.
（ⅰ）求點p的座標；
（ⅱ）焦點在x軸上的橢圓c過點p，且與直線交於a，b兩點，若的面積為2，求c的標準方程.
21. （本小題滿分12分）
已知函式，.
證明：（ⅰ）存在唯一，使；
（ⅱ）存在唯一，使，且對（1）中的x0，有.
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框塗黑.
22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，ep交圓於e、c兩點，pd切圓於d，g為ce上一點且，連線dg並延長交圓於點a，作弦ab垂直ep，垂足為f.
（ⅰ）求證：ab為圓的直徑；
（ⅱ）若ac=bd，求證：ab=ed.
23. （本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
將圓上每一點的橫座標保持不變，縱座標變為原來的2倍，得曲線c.
（ⅰ）寫出c的引數方程；
（ⅱ）設直線與c的交點為，以座標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極座標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極座標方程.
24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
設函式，，記的解集為m，的解集為n.
（ⅰ）求m；
（ⅱ）當時，證明：.
參***
10.ａ
13. 14. 15. 16.
(17)解：
（ⅰ）由得，．又．所以．由餘弦定理，得．
又．所以．解得或．因為．所以．
（ⅱ）在中，．由正弦定理得，．因，所以為銳角．因此
．於是．
18. （ⅰ）將列聯表中的資料代入公式計算．得．由於．所以有
的把握認為「南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異」．
（ⅱ）從5名數學系的學生任取3人的一切可能結果所組成的基本事件空間， ，，．其中表示喜歡甜品的學生，．表示不喜歡甜品的學生，．
由10個基本事件組成，且這些基本事件出現是等可能的．用a表示「3人中至多有1人喜歡甜品」這一事件，則．事件a是由7個基本事件組成．因而．
19. （ⅰ）證明：由已知得．因此．又為中點，所以；同理；因此平面．又．所以平面bcg．
（ⅱ）在平面內．作．交延長線於．由平面平面．知平面．
又為中點，因此到平面距離是長度的一半．在中，．
所以．20. （ⅰ）設切點座標為．則切線斜率為．切線方程為．即．此時，兩個座標軸的正半軸於切線圍成的三角形面積．由知當且僅當時，有最大值．即有最小值．因此點的座標為．
（ⅱ）設的標準方程為．點．由點在上知．並由得．又是方程的根，因此，由，，得．由點到直線的距離為及得．解得或．因此，（舍）或，
．從而所求的方程為．
21. （ⅰ）當時，，所以在上為增函式．又．．所以存在唯一，使．
（ⅱ）當時，化簡得．令．記
．．則．由（ⅰ）得，當時，；當時，．從而在上為增函式，由知，當時，，所以在上無零點．在上為減函式，由及知存在唯一，使得．於是存在唯一，使得．設．
．因此存在唯一的，使得．由於，，所以．
22. （ⅰ）因為．所以
．由於為切線，所以．又由於，故．
所以由於，所以，於是．故為圓的直徑．
（ⅱ）連線．由於是直徑，故．在和中，，．從而．於是．又因為，所以．故．由於，所以，為直角．於是為直徑．由（ⅰ）得，．
23. （ⅰ）設為圓上的點，經變換為上點．依題意，得由得．
即曲線的方程為．故c的引數方程為（為引數）．
（ⅱ）由解得或不妨設．則線段的中點座標為．
所求直線的斜率為．於是所求直線方程為．化為極座標方程為
，即．24. （ⅰ）當時，由得．故；當時，
由得，故．所以的解集為．
（ⅱ）由得，解得：．因此，故．
當時，，故．
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