絕密★啟用前
試題型別：
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1.本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第ⅰ卷1至3頁，第ⅱ卷3至5頁.
2.答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在本試題相應的位置.
3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.
4. 考試結束後，將本試題和答題卡一併交回.
第ⅰ卷一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）設集合，則st=（ ）
(a) [2，3b)（- ，2] [3,+）
(c) [3d)（0，2] [3,+）
（2）若z=1+2i，則（ ）
(a)1b) -1c) id)-i
（3）已知向量, 則abc=（ ）
(a)300b) 450c) 600d)1200
（4）某旅遊城市為向遊客介紹本地的氣溫情況，繪製了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖。圖中a點表示十月的平均最高氣溫約為150c，b點表示四月的平均最低氣溫約為50c。下面敘述不正確的是（ ）
(a) 各月的平均最低氣溫都在00c以上
(b) 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
(c) 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
(d) 平均最高氣溫高於200c的月份有5個
（5）若，則（ ）
(abc) 1d)
（6）已知，，，則（ ）
（a）（b）（c）（d）
（7）執行下圖的程式框圖，如果輸入的a=4，b=6，那麼輸出的n=（ ）
（a）3
（b）4
（c）5
（d）6
（8）在中，，bc邊上的高等於,則（ ）
（abcd）
(9)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三檢視，則該多面體的表面積為（ ）
（a）（b）
（c）90
（d）81
(10) 在封閉的直三稜柱abc-a1b1c1內有乙個體積為v的球，若abbc，ab=6，bc=8，aa1=3，則v的最大值是（ ）
（a）4bc）6d）
（11）已知o為座標原點，f是橢圓c：的左焦點，a，b分別為c的左，右頂點.p為c上一點，且pf⊥x軸.
過點a的直線l與線段pf交於點m，與y軸交於點e.若直線bm經過oe的中點，則c的離心率為（ ）
（abcd）
（12）定義「規範01數列」如下：共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少於1的個數.若m=4，則不同的「規範01數列」共有（ ）
（a）18個b）16個c）14個d）12個
第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題~第(24)題為選考題，考生根據要求作答.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分
（13）若x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
（14）函式的影象可由函式的影象至少向右平移個單位長度得到。
（15）已知f(x)為偶函式，當時，，則曲線y=f(x)，在點（1，-3）處的切線方程是
（16）已知直線與圓交於a，b兩點，過a，b分別作l的垂線與x軸交於c，d兩點，若，則
三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（17）（本小題滿分12分）
已知數列的前n項和，其中0.
（）證明是等比數列，並求其通項公式
（）若，求
（18）（本小題滿分12分）
下圖是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖
（）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關係，請用相關係數加以說明;
（）建立y關於t的回歸方程（係數精確到0.01），**2023年我國生活垃圾無害化處理量。
參考資料：，，，≈2.646.
參考公式：相關係數
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
．（19）（本小題滿分12分）
如圖，四稜錐p-abcd中，pa⊥底面abcd，ad∥bc，ab=ad=ac=3，pa=bc=4，m為線段ad上一點，am=2md，n為pc的中點.
（i）證明mn∥平面pab;
（ii）求直線an與平面pmn所成角的正弦值.
（20）（本小題滿分12分）
已知拋物線c： 的焦點為f，平行於x軸的兩條直線分別交c於a，b兩點，交c的準線於p，q兩點.
（i）若f**段ab上，r是pq的中點，證明ar∥fq；
（ii）若△pqf的面積是△abf的面積的兩倍，求ab中點的軌跡方程.
（21）（本小題滿分12分）
設函式，其中＞0，記的最大值為a.
（ⅰ）求f＇（x）；
（ⅱ）求a；
（ⅲ）證明≤2a.
請考生在[22]、[23]、[24]題中任選一題作答。作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目題號後的方框塗黑。如果多做，則按所做的第一題計分。
22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙o中的中點為p，弦pc，pd分別交ab於e，f兩點.
（i）若∠pfb=2∠pcd，求∠pcd的大小；
（ii）若ec的垂直平分線與fd的垂直平分線交於點g，證明og⊥cd.
23.（本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系xoy中，曲線的引數方程為，以座標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，，建立極座標系，曲線的極座標方程為.
（i）寫出的普通方程和的直角座標系方程；
（ii）設點p在上，點q在上，求|pq|的最小值及此時p的直角座標.
24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函式
（i）當a=2時，求不等式的解集；
（ii）設函式當時，f（x）+g（x）≥3，求a的取值範圍.
絕密★啟用前
試題型別：新課標ⅲ
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學正式答案
第ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）d （2）c （3）a （4）d （5）a （6）a （7）b
（8）c （9）b （10）b （11）a （12）c
第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共3小題，每小題5分
（13）
（14）
（15）
（16）4
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（17）（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）由題意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首項為，公比為的等比數列，於是．
（ⅱ）由（ⅰ）得，由得，即，
解得．（18）（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）由折線圖中資料和附註中參考資料得
，，，，
.因為與的相關係數近似為0.99，說明與的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關係.
（ⅱ）由及（ⅰ）得，
.所以，關於的回歸方程為：.
將2023年對應的代入回歸方程得：.
所以**2023年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.
（19）（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）由已知得，取的中點，連線，由為中點知，.
又，故，四邊形為平行四邊形，於是.
因為平面，平面，所以平面.
（ⅱ）取的中點，鏈結，由得，從而，且.
以為座標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角座標系，由題意知，
，，，，
，，.設為平面的法向量，則，即，可取，
於是.（20）解：由題設.設，則，且
.記過兩點的直線為，則的方程為. .....3分
（ⅰ）由於**段上，故.
記的斜率為，的斜率為，則
.所以5分
（ⅱ）設與軸的交點為，
則.由題設可得，所以（捨去），.
設滿足條件的的中點為.
當與軸不垂直時，由可得.
而，所以.
當與軸垂直時，與重合.所以，所求軌跡方程為. ....12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）．
（ⅱ）當時，
因此4分
當時，將變形為．
令，則是在上的最大值，，，且當時，取得極小值，極小值為．
令，解得（捨去），．
（ⅰ）當時，在內無極值點，，，，所以．
（ⅱ）當時，由，知．
又，所以．
綜上，． ………9分
（ⅲ）由（ⅰ）得.
當時，.
當時，，所以.
當時，，所以.
請考生在[22]、[23]、[24]題中任選一題作答。作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目題號後的方框塗黑。如果多做，則按所做的第一題計分。
22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
解：（ⅰ）鏈結，則.
因為，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（ⅱ）因為，所以，由此知四點共圓，其圓心既在的垂直平分線上，又在的垂直平分線上，故就是過四點的圓的圓心，所以在的垂直平分線上，又o也在cd的垂直平分線上，因此.
23.（本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
解：（ⅰ）的普通方程為，的直角座標方程為. ……5分
（ⅱ）由題意，可設點的直角座標為，因為是直線，所以的最小值，
即為到的距離的最小值，.
………………8分
當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角座標為10分
24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（ⅰ）當時，.
2023年普通高等學校招生全國考試
2010年高等學校招生考試文科數學 一 選擇題 本大題共12小題，每小題5分 1 已知集合 則 a 0,2 b 0,2 c 2 a，b為平面向量，已知a 4，3 2a b 3，18 則a，b夾角的余弦值等於 a b c d 3 已知複數，則 ab c 1 d 2 4 曲線在點 1,0 處的切線方程為...
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