單元測試題(三)
(時間：120分鐘；滿分：150分)
一、選擇題(每小題5分，共60分)
1．已知0a．1答案 d
解析 ∵0m>n，故選d.
2．若函式f(x)＝＋a(a≠0)是奇函式，則滿足f(x)＝的x的取值為( )
a．log32 b．1 c．2log32 d．
答案 c
解析 f(x)＝＋a為奇函式，則f(－x)＝－f(x)，
∴＋a＝－，得a＝.
f(x)＝＋＝，得x＝2log32，故選c.
a．m答案 a
解析 4．設函式f(x)＝loga(x＋b)(a>0，a≠1)的影象經過點(0,0)，其反函式的影象經過點(1,2)，則a＋b等於( )
a．3 b．4 c．5 d．6
答案 b
解析由題意知原函式過(0,0)，(2,1)兩點，分別代入原函式表示式，
得得∴a＋b＝4，故選b.
5．函式f(x)＝的定義域為( )
a．(2，＋∞) b．(2,3] c．(－∞，2) d．(2,3)
答案 b
解析由06．設0a．(1－a)a>(1＋a)a b．log1－a(1＋a)>0 c．(1－a)1＋a>1 d．(1－a) >1
答案 d
解析 ∵0－<－1<0，由指數函式影象的特點知：(1－a)－>1，故選d.
7．已知實數a、b滿足等式()a＝()b，下列五個關係式：
①0其中不可能成立的關係式有( )
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
答案 b
解析當a＝b＝0時，()0＝()0＝1，所以⑤對，①與③矛盾，②與④矛盾，所以①和③中有乙個對，②和④中有乙個對，所以不成立的有2個，故選b.
8．若f(x5)＝lg x，則f(2)等於( )
a．lg2 b．lg32 c．lg d. lg2
答案 d
解析令x5＝2，∴x＝2.∴f(2)＝lg2＝lg2，故選d.
9．若函式f(x)＝ax－1＋logax(a>0且a≠1)，在[1,2]上的最大值與最小值之和為a，則a的值為( )
a．4 b. c．2 d.
答案 d
解析由題知f(x)＝ax－1＋logax必為單調函式，
則必有f(1)＋f(2)＝a，即1＋a＋loga2＝a，得a＝，故選d.
10．若a＝，b＝，c＝，則( )
a．a答案 c
解析 11．設0a．(－∞，0) b．(0，＋∞) c．(－∞，loga3) d．(loga3，＋∞)
答案 c
解析 ∵f(x)＝loga(a2x－2ax－2)<0＝loga1 (01，
∴a2x－2ax－3>0，∴(ax－3)(ax＋1)>0，∴ax>3.
∴logaax12．函式f(x)＝ax－b的影象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是( )
a．a>1，b<0 b．a>1，b>0 c．00 d．0答案 d
解析由影象是遞減的，∴0二、填空題(每小題5分，共20分)
13．設f(x)＝log3(x＋6)的反函式為f－1(x)，若[f－1(m)＋6]·[f－1(n)＋6]＝27，則f(m＋n
答案 2
解析 f－1(x)＝3x－6，由題意3m·3n＝27，
∴m＋n＝3，∴f(m＋n)＝f(3)＝log39＝2.
14．方程4x＋2x－2＝0的解是______．
答案 x＝0
解析設2x＝t，則t2＋t－2＝0.
∴(t＋2)(t－1)＝0.∴2x＝－2(舍)或2x＝1.∴x＝0.
15．若3a＝0.618，a∈[k，k＋1]，則k＝______.
答案 －1
解析 ∵3a＝0.618，a∈[k，k＋1]，∴log30.618＝a.
∵log33－1∴－116．對於函式f(x)定義域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下結論：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0；④f＜.
當f(x)＝lg x時，上述結論中正確的序號是________．
答案 ②③
解析 ∵f(x)＝lg x，
∴f(x1·x2)＝lg(x1·x2)＝lg x1＋lg x2.
∵f(x)＝lg x在(0，＋∞)上為增函式，
∴x10.
∴②、③正確．④可由影象判斷是錯誤的．
三、解答題(共70分)
17．(10分)求下列各式的值：
(1)log84； (2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22.
解析 (1)log84＝log2322＝；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝lg25＋lg8＋lglg(10×2)＋lg22＝lg100＋(1－lg2)(1＋lg2)＋lg22＝3.
18．(12分)判斷函式y＝的奇偶性與單調性，並求函式的最值．
解析函式y＝的定義域為r，設y＝f(x)，則f(－x)＝＝f(x)，
∴f(x)為偶函式．設0≤x1＜x2，
∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1)∴f(x)在(－∞，0)上遞減，∴當x＝0時，f(x)取得最小值1.
19．(12分)已知logab＋2logba＝，且a>b>1.試比較a－a與b－2b的大小，並說明理由．
解析由已知logab＋2logba＝，可得2(logab)2－9(logab)＋4＝0.解得logab＝或logab＝4.
又a>b>1，故logab<1，因此應捨去logab＝4.
從而得logab＝，a＝b，a＝b2.∴b－2b＝(b2)－b＝a－b.
比較a－a與b－2b的大小，即比較a－a與a－b的大小．
∵a>1，a>b，故－a<－b，∴a－a20．(12分)已知函式f(x)＝loga(1＋x)，當x∈[1，＋∞)時，恒有|f(x)|>2，求實數a的取值範圍．
分析由於a的範圍不明確，所以注意分a>1和0解析 x∈[1，＋∞)時，恒有|f(x)|>2，即
|loga(1＋x)|>2對任意x≥1都成立，即
loga(1＋x)>2或loga(1＋x)<－2對任意x≥1成立，
即loga(1＋x)(x≥1)的最小值大於2或loga(1＋x)(x≥1)的最大值小於－2，
即，或解得121．(12分)求函式y＝的定義域和值域，判斷此函式單調性，並用定義證明．
解析(1)∵對於任意實數x ，函式y＝都有意義，∴函式的定義域為r.
(2)y＝y(2x＋1)＝2x－12x(y－1)＝－y－12x＝由2x>0，即》0，解得－122．(12分)已知f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，a≠1)．
(1)求函式f(x)－g(x)的定義域；(2)判斷函式f(x)－g(x)的奇偶性，並予以證明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值範圍．
解析(1)由x＋1＞0,1－x＞0，得－1＜x＜1，
所以f(x)－g(x)的定義域為(－1,1)．
(2)任取x∈(－1,1)，則－x∈(－1,1)，
f(－x)－g(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[f(x)－g(x)]，
所以f(x)－g(x)在(－1,1)上是奇函式．
(3)由f(x)－g(x)＞0，得loga(1＋x)＞loga(1－x)．
當a＞1時，由解得0＜x＜1；
當0＜a＜1時，由解得－1＜x＜0.
所以當a＞1時，x的取值範圍是(0,1)；
當0＜a＜1時，x的取值範圍是(－1,0)．
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