普通高考數學科一輪複習精品學案
第3講函式的基本性質
一．課標要求
1．通過已學過的函式特別是二次函式，理解函式的單調性、最大（小）值及其幾何意義；
2．結合具體函式，了解奇偶性的含義；
二．命題走向
從近幾年來看，函式性質是高考命題的主線索，不論是何種函式，必須與函式性質相關聯，因此在複習中，針對不同的函式類別及綜合情況，歸納出一定的複習線索。
**高考的出題思路是：通過研究函式的定義域、值域，進而研究函式的單調性、奇偶性以及最值。
**明年的對本講的考察是：
（1）考察函式性質的選擇題1個或1個填空題，還可能結合導數出研究函式性質的大題；
（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函式的性質，以組合形式、一題多角度考察函式性質預計成為新的熱點。
三．要點精講
1．奇偶性
（1）定義：如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函式；如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函式。
如果函式f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函式同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函式，又是偶函式。
注意：函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；
由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，對於定義域內的任意乙個x，則－x也一定是定義域內的乙個自變數（即定義域關於原點對稱）。
（2）利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；
確定f(－x)與f(x)的關係；
作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：乙個函式是奇函式的充要條件是它的圖象關於原點對稱；乙個函式是偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸對稱；
②設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．單調性
（1）定義：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i， 如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1f(x2)），那麼就說f(x)在區間d上是增函式（減函式）；
注意：函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2）如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間d叫做y=f(x)的單調區間。
（3）設復合函式y= f[g(x)]，其中u=g(x) , a是y= f[g(x)]定義域的某個區間，b是對映g : x→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 a上是增（或減）函式，y= f(u)在b上也是增（或減）函式，則函式y= f[g(x)]在a上是增函式；
②若u=g(x)在a上是增（或減）函式，而y= f(u)在b上是減（或增）函式，則函式y= f[g(x)]在a上是減函式。
（4）判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式f(x)在給定的區間d上的單調性的一般步驟：
任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（即指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）。
（5）簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函式增函式是增函式；
減函式減函式是減函式；
增函式減函式是增函式；
減函式增函式是減函式。
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：①對於任意的x∈i，都有f(x)≤m；②存在x0∈i，使得f(x0) = m。
那麼，稱m是函式y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設函式y=f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：①對於任意的x∈i，都有f(x)≥m；②存在x0∈i，使得f(x0) = m。
那麼，稱m是函式y=f(x)的最大值。
注意：函式最大（小）首先應該是某乙個函式值，即存在x0∈i，使得f(x0) = m；
函式最大（小）應該是所有函式值中最大（小）的，即對於任意的x∈i，都有f(x)≤m（f(x)≥m）。
（2）利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值的方法：
利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值；
利用圖象求函式的最大（小）值；
利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
4．週期性
（1）定義：如果存在乙個非零常數t，使得對於函式定義域內的任意x，都有f(x+t)= f(x)，則稱f(x)為週期函式；
（2）性質：①f(x+t)= f(x)常常寫作若f(x)的週期中，存在乙個最小的正數，則稱它為f(x)的最小正週期；②若週期函式f(x)的週期為t，則f(ωx)（ω≠0）是週期函式，且週期為。
四．典例解析
題型一：判斷函式的奇偶性
例1．討論下述函式的奇偶性：
解：（1）函式定義域為r，
，∴f(x)為偶函式；
（另解）先化簡：，顯然為偶函式；從這可以看出，化簡後再解決要容易得多。
（2）須要分兩段討論：
①設②設
③當x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，對x∈r有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)為奇函式；
（3），∴函式的定義域為，
∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的圖象由兩個點 a（－1，0）與b（1，0）組成，這兩點既關於y軸對稱，又關於原點對稱，∴f(x)既是奇函式，又是偶函式；
（4）∵x2≤a2, ∴要分a >0與a <0兩類討論，
①當a >0時，
，∴當a >0時，f(x)為奇函式；
既不是奇函式，也不是偶函式.
點評：判斷函式的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函式的定義域，若函式的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。
例2．設函式f（x）在（－∞，+∞）內有定義，下列函式：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。
必為奇函式的有_____（要求填寫正確答案的序號）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。
點評：該題考察了判斷抽象函式奇偶性的問題。對學生邏輯思維能力有較高的要求。
題型二：奇偶性的應用
例3．設f（x）是定義在r上的奇函式，若當x≥0時，f（x）=log3（1+x），則f（－2
答案：－1；解：因為x≥0時，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函式，所以f（－x）=－f（x），設x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。
點評：該題考察函式奇偶性的應用。解題思路是利用函式的奇偶性得到函式在對稱區域上函式的取值。
例4．已知定義在r上的函式y= f(x)滿足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函式，當x∈[0，2]時，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時f(x)的表示式。
解：由條件可以看出，應將區間[－4，0]分成兩段考慮：
①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，
∵f(x)為偶函式，
∴當x∈[－2，0]時，f(x)= f(－x)=－2x－1,
②若x∈[－4，－2，
∴4+ x∈[0，2，
∵f(2+x)+ f(2－x)，
∴f(x)= f(4－x)，
∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；
綜上，點評：結合函式的數字特徵，借助函式的奇偶性，處理函式的解析式。
題型三：判斷證明函式的單調性
例5．設，是上的偶函式。
（1）求的值；（2）證明在上為增函式。
解：（1）依題意，對一切，有，即。
∴對一切成立，則，∴，
∵，∴。
（2）（定義法）設，則
，由，得，，
∴，即，∴在上為增函式。
（導數法）∵，
∴∴在上為增函式
點評：本題用了兩種方法：定義法和導數法，相比之下導數法比定義法更為簡潔。
例6．已知f(x)是定義在r上的增函式，對x∈r有f(x)>0，且f(5)=1，設f(x)= f(x)+，討論f (x)的單調性，並證明你的結論。
解：這是抽角函式的單調性問題，應該用單調性定**決。
在r上任取x1、x2，設x1
∵f(x)是r上的增函式，且f(10)=1，
∴當x<10時0< f(x)<1, 而當x>10時f(x)>1;
1 若x12 ∴0< f(x1)f(x2)<1,
∴<0,
∴f (x2)< f(x1)；
②若x2 >x1>5，則f(x2)>f(x1)>1 ,
∴f(x1)f(x2)>1,
∴>0,
∴ f(x2)> f (x1)；
綜上，f (x)在（－∞，5）為減函式，在（5，+∞）為增函式。
點評：該題屬於判斷抽象函式的單調性。抽象函式問題是函式學習中一模擬較特殊的問題，其基本能力是變數代換、換元等，應熟練掌握它們的這些特點。
題型四：函式的單調區間
例7．設函式f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調區間，並證明f（x）在其單調區間上的單調性。
.解：在定義域內任取x1＜x2，
∴f（x1）－f（x2）＝
，∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，
只有當x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時函式才單調．
當x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時f（x1）－f（x2）＞0．
∴f（x）在（－b，＋∞）上是單調減函式，在（－∞，－b）上是單調減函式．
高考數學第一輪複習
第一章集合 第一節集合的含義 表示及基本關係 a組1 已知a b 則集合a與b的關係為 2 若，則實數a的取值範圍是 3 已知集合a 集合b 則集合a與b的關係是 4 2009年高考廣東卷改編 已知全集u r，則正確表示集合m 和n 關係的韋恩 venn 圖是 5 2010年蘇 錫 常 鎮四市調查 ...
高考數學第一輪複習指導
高二數學複習前如何定好計畫 一 抓好基礎 數學習題無非就是數學概念和數學思想的組合應用，弄清數學基本概念 基本定理 基本方法是判斷題目型別 知識範圍的前提，是正確把握解題方法的依據。只有概念清楚，方法全面，遇到題目時，就能很快的得到解題方法，或者面對乙個新的習題，就能聯想到我們平時做過的習題的方法，...
2019高考數學第一輪複習
1 當為任意實數時,直線恆過定點,則焦點在軸上且過點的拋物線的標準方程是 2 設p是正方形abcd外一點，o是正方形中心，po 平面abcd，以下四個結論 pa pb pc pd 若ae pb，則pb 平面aec 在稜pb上存在一點e，使得pd 平面aec 在稜pb上存在一點e，使得平面abe 平面...