鄂州高中2019屆自主招生數學

(數學與自然部分中的數學部分，共100分)

一。選擇題（每小題5分，共40分）

1.對於任意兩個實數、，我們稱為與的差，已知，，是與的差，是與的差，是與的差，，以此類推，則（）

a、2 b、1 c、 d、

2.已知、、分別是△abc的三邊，且對於有，那麼△abc是（）

a、直角三角形 b、等腰三角形 c、正三角形 d、等於直角三角形

3.如圖, 已知雙曲線經過矩形oabc的邊ab的中點f，且交bc於e點，若四邊形oebf的面積為1，則的值是（）

a、2 b、1 c、 d、3

4.已知二次函式與軸交於a、b，與軸交於點c，則能使△abc為等腰三角形的拋物線的條數是（）

a、5 b、4 c、3 d、2

5.已知方程恰有乙個根滿足，則的取值範圍是（）

a、 b、或 c、 d、

6.如圖, 在rt△abc中，∠acb=90°，ab=2bc=6cm，動點p從a出發，沿ab方向以每秒2cm的速度向終點b運動，同時，動點q從點b出發沿bc方向以每秒1cm的速度向終點c運動，將△pqc沿bc翻摺，點p的對應點為點p′．設q點運動的時間t秒，若四邊形qpcp′為菱形，則t的值為（）

a、1 b、 c、2 d、3

7.若方程的三個根可作為乙個三角形的三邊之長，那麼的取值範圍是（）

a、 b、 c、 d、

8.橫座標、縱座標都是整數的點，我們把它稱為整點，對於一條直線，當它與乙個圓的公共點都是整點時，我們把這條直線稱為這個圓的「整點直線」，已知圓o是以原點為圓心，半徑為的圓，從圓o的所有「整點直線」中任取一條，則所取的直線與x軸平行的概率是（）

a、 b、 c、 d、

二。填空題（每小題6分）

9.如圖，已知直線：和點a，從a點出發的光線射向軸上的b點，經軸反射後又射向直線上的c點，再經直線反射後，回到a點，若光線走過的路程為，則oa

10.若表示不超過的最大整數（如，等），記，則

11.某校初一（2）班有40名學生，該班為了豐富學生的課外生活，組織了美術、**和書法三個興趣小組，並規定每位學生至少參加乙個興趣小組，至多參加兩個興趣小組，為了便於管理，將參加興趣小組完全相同的學生各組成乙個團體，則人數最多的團體至少有人 .

12.柯西是法國偉大的數學家，他的一生在數學領域有著很高的建樹，很多數學定理和公式都用他的名字來命名，如著名的柯西不等式：，在該式中，、可以是任意實數，當且僅當時等號成立。

根據該式，對於正實數、，如果，則的最大值為

三。解答題（共36分）

13.設、是任意兩個不等實數且，我們規定：滿足不等式的實數的所有取值的全體叫做閉區間，表示為，對於乙個函式，如果它的自變數與函式值滿足：

當時，的最小值為，的最大值為（為正常數），我們就稱此函式是閉區間上的「倍函式」。

（1）反比例函式是閉區間上的「2倍函式」嗎？請判斷並說明理由；

（2）若一次函式是閉區間上的「4倍函式」，求此函式的解析式；

（3）若二次函式是閉區間上的「3倍函式」，求實數、的值。

14.過△ade兩個頂點a、d的⊙o分別交直線ae、de於點b、點c，過點b作直線bf交直線ad於f，交直線de於點g，且使∠gfd=∠aed，

(1)如圖1，當點e在圓⊙o外時，連線bc，求證：bc=bg；

（2）如圖2，當點e在圓⊙o內時，連線ac、ag，若ac=ag，求證：ab平分∠cag；

(3)如圖3，在（2）的條件下，連線bo並延長交ad於點h，若bh平分∠abf，ob=5，，求線段ah的長。

圖1圖2圖3

15.已知、是方程的兩根，拋物線c：經過點a，點b和點c，點f座標為，點p是拋物線c上異於頂點的任意一點，（1）求拋物線c的函式解析式；

（2）過p作直線：的垂線，垂足為m，求證：pf=pm；

（3）在（2）的條件下，延長pf交拋物線c於另一點q，作qn⊥l, 垂足為n，①求證： mf⊥nf；②求證：p、o、n三點共線。