2023年溫州中學自主招生數學模擬試卷

2016.2

（本卷滿分：150分考試時間：90分鐘）

一、單項選擇題（本大題分5小題，每題4分，共20分）

1.氣象台預報：「本市明天降水概率是80%」，但據經驗，氣象台預報的準確率僅為80%，則在此經驗下，本市明天降水的概率為

a、84%b、80%c、68%d、64%

2.如圖，已知∠a的平分線分別與邊bc、abc 的外接圓交於點d、m，過d任作一條與直線bc不重合的直線l，直線l分別與直線mb、mc交於點p、q，下列判斷不正確的是

a．無論直線l的位置如何，總有直線pm與△abd的外接圓相切

b．無論直線l的位置如何，總有∠paq＞∠bac

c．直線l選取適當的位置，可使a、p、m、q四點共圓

d．直線l選取適當的位置，可使s△apq3.欲將正六邊形的各邊和各條對角線都染為n種顏色之一，使得以正六邊形的任何3個頂點作為頂點的三角形有3種不同顏色的邊，並且不同的三角形使用不同的3色組合，則n的最小值為

a．6b．7c．8d．9

4.將乙個正11邊形用對角線劃分為9個三角形，這些對角線在正11邊形內兩兩不相交，則

a．存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角三角形

b．存在某種分法，所分出的三角形恰有兩個銳角三角形

c．存在某種分法，所分出的三角形至少有3個銳角三角形

d．任何一種分法所分出的三角形都恰有1個銳角三角形

5.已知實係數二次函式 f(x)與 g(x)，f(x)=g(x)和3f(x)+g(x)=0有兩重根，f(x)有兩相異實根，則 g(x)

a．有兩相異實根b．有兩相同實根c．沒有實根d．沒有有理根

二、填空題（本大題分10小題，每題6分，共60分）

6.設正數x、y、z滿足方程組，則xy+2yz+3zx的值為

7.已知abcd是乙個正方形，點m（異於點b、c）在邊bc上，線段am的垂直平分線l分別交ab、cd於點e、f．若ab=1，則|be-df|的取值範圍為

8.已知實數a，b，c，d滿足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6，則(a2+b2)(c2+d2)的值為

9.由兩個不大於100的正整數m，n組成的整數對(m,n)中，滿足：＜＜的有_對．

10.甲、乙兩人在乙個5×5的方格紙上玩填數遊戲：甲先填且兩人輪流在空格中填數，甲每次選擇乙個空格寫上數字1，乙每次選擇乙個空格寫上數字0，填完後計算每個3×3正方形內9個數之和，並將這些和數中的最大數記為a，甲盡量使a增大，乙盡量使a減小，則甲可使a獲得的最大值是____．

11.乙個銳角△abc，∠bac=60°，三點h、o、i分別是△abc的垂心、外心和內心，若bh=oi，則∠acb

12.設δabc的內切圓⊙o與邊ca上的中線bm交於點g、h，並且點g在點b和點h之間．已知bg=hm，ab=2．則gh的最大值為________．

13.設a、b為實數，函式 f(x)=ax+b滿足：對任意x∈[0,1]，f(x)|≤1，則s=(a+1)(b+1)的取值範圍為_______．

14.已知拋物線y2=6x上的兩個動點a(x1,y1)和b(x2,y2)，其中x1≠x2且x1+x2=4．線段ab的垂直平分線與x軸交於點c，則s△abc的最大值為

15.將乙個3×3的正方形的四個角上各去掉乙個單位正方形所得到的圖形稱為「十字形」．在乙個10×11的棋盤上，最多可以放置_________個互不重疊的「十字形」．(每個「十字形」恰好蓋住棋盤上的5個小方格)

三、解答題（本大題分5小題，16題10分，17~20題每題15分，共70分）

16.三角形的三邊之長是某個係數為有理數的三次方程的根．證明：該三角形的高是某個係數為有理數的六次方程的根．

17.已知△abc內有n個點（無三點共線），連同a、b、c共n+3個點．以這些點為頂點把δabc分成若干個互不重疊的小三角形．現把a，b，c分別染成紅色、藍色、黃色，而其餘n個點，每個點任意染上紅、藍、黃三色之一．求證：三頂點都不同色的小三角形的總數必是奇數．

18.設奇數a，b，c，d滿足019.如圖，在銳角△abc中，∠bac≠60°，過點b、c分別作abc 的外接圓⊙o的切線bd、ce，且滿足bd=ce=bc．直線de與ab、ac的延長線分別交於點f、g．設cf與bd交於點m，ce與bg交於點n，證明：

am=an．

20.如圖，在△abc中，ab＞ac，內切圓⊙i與邊bc切於點d，ad與⊙i的另乙個交點為e，⊙i的切線ep與bc的延長線交於點p，cf∥pe且與ad交於點f，直線bf與⊙i交於點m、n，m**段bf上，線段pm與⊙i交於另一點q．證明：∠enp=∠enq．