一、選擇題(36分)
1.刪去正整數數列1，2，3，……中的所有完全平方數，得到乙個新數列.這個數列的第2003項是(a) 2046 (b) 2047 (c) 2048 (d) 2049
2.設a，b∈r，ab≠0，那麼直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點f作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交於a、b兩點，弦ab的中垂線與x軸交於點p，則線段pf的長等於
(a) 163 (b) 83 (c) 1633 (d) 83
4.若x∈[-5 12，- 3 ]，則y=tan(x+2 3 )-tan(x+ 6 )+cos(x+ 6 )的最大值是
(a) 1252 (b) 1162 (c) 1163 (d) 1253
5.已知x，y都在區間(-2，2)內，且xy=-1，則函式u=44-x2+99-y2的最小值是
(a) 85 (b) 2411 (c) 127 (d) 125
6.在四面體abcd中，設ab=1，cd=3，直線ab與cd的距離為2，夾角為3，則四面體abcd的體積等於(a) 32 (b) 12 (c) 13 (d) 33二.填空題(每小題9分，共54分)7.
不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是.
8.設f1、f2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，p是橢圓上一點，且|pf1|∶|pf2|=2∶1，則△pf1f2的面積等於.9.
已知a=，b=若a b，則實數a的取值範圍是.
10.已知a，b，c，d均為正整數，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，則b-d= .
11.將八個半徑都為1的球分放兩層放置在乙個圓柱內，並使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的乙個底面及側面都相切，則此圓柱的高等於.
12.設mn=，tn是mn中元素的個數，sn是mn中所有元素的和，則limn→∞sntn= .三、(20分)
13.設32≤x≤5，證明不等式2x+1+2x-3+15-3x<219.四、(20分)
14.設a、b、c分別是複數z0=ai，z1=12+bi，z2=1+ci(其中a，b，c都是實數)對應的不共線的三點.證明：
曲線z=z0cos4t+2z1cos2tsin2t+z2sin4t (t∈r)
與△abc中平行於ac的中位線只有乙個公共點，並求出此點.五、(本題滿分20分)
15.一張紙上畫有乙個半徑為r的圓o和圓內乙個定點a，且oa=a，摺疊紙片，使圓周上某一點a剛好與點a重合.這樣的每一種摺法，都留下一條摺痕.
當a取遍圓周上所有點時，求所有摺痕所在直線上點的集合.
參***
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.刪去正整數數列1，2，3，……中的所有完全平方數，得到乙個新數列.這個數列的第2003項是(a) 2046 (b) 2047 (c) 2048 (d) 2049解：
452=2025，462=2116.
在1至2025之間有完全平方數45個，而2026至2115之間沒有完全平方數.故1至2025中共有新數列中的2025-45=1980項.還缺2003-1980=23項.
由2025+23=2048.知選c.
2.設a，b∈r，ab≠0，那麼直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
解：曲線方程為x2a+y2b=1，直線方程為y=ax+b.
由直線圖形，可知a、c中的a<0，a圖的b>0，c圖的b<0，與a、c中曲線為橢圓矛盾.
由直線圖形，可知b、d中的a>0，b<0，則曲線為焦點在x軸上的雙曲線，故選b.
3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點f作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交於a、b兩點，弦ab的中垂線與x軸交於點p，則線段pf的長等於
(a) 163 (b) 83 (c) 1633 (d) 83解：拋
拋物線的焦點為原點(0，0)，弦弦ab所在直線方程為y=3x，弦的中
點在y=pk=43上，即ab中點為(43，43)，中垂線方程為y=-33(x-43)+43，令y=0，得點p的座標為163.∴pf=163.選a.
4.若x∈[-5 12，- 3]，則y=tan(x+2 3)-tan(x+ 6)+cos(x+ 6)的最大值是
(a) 1252 (b) 1162 (c) 1163 (d) 1253
解：令x+ 6=u，則x+2 3=u+ 2，當x∈[-5 12，- 3]時，u∈[- 4，-6]，
y=-(cotu+tanu)+cosu=-2sin2u+cosu.在u∈[- 4，- 6]時，sin2u與cosu都單調遞增，從而y單調遞增.於是u=- 6時，y取得最大值1163，故選c.
5.已知x，y都在區間(-2，2)內，且xy=-1，則函式u=44-x2+99-y2的最小值是
(a) 85 (b) 2411 (c) 127 (d) 125
解：由x，y∈(-2，2)，xy=-1知，x∈(-2，-12)∪(12，2)，u=44-x2+9x29x2-1=-9x4+72x2-4-9x4+37x2-4=1+3537-(9x2+4x2).當x∈(-2，-12)∪(12，2)時，x2∈(14，4)，此時，9x2+4x2≥12.
(當且僅當x2=23時等號成立).
此時函式的最小值為125，故選d.
6.在四面體abcd中，設ab=1，cd=3，直線ab與cd的距離為2，夾角為3，則四面體abcd的體積等於(a) 32 (b) 12 (c) 13 (d) 33
解：如圖，把四面體補成平行六面體，則此平行六面體的體積=1×3×sinπ3×2=3.
而四面體abcd的體積=16×平行六面體體積=12.故選b.二.填空題(每小題9分，共54分)7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是.
解：即|x|3-2|x|2-4|x|+3<0，(|x|-3)(|x|-5-12)(|x|+5+12)<0. |x|<-5+12，或5-12<|x|<3.
∴解為(-3，-5-12)∪(5-12，3).
8.設f1、f2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，p是橢圓上一點，且|pf1|∶|pf2|=2∶1，則△pf1f2的面積等於.解：
f1(-5，0)，f2(5，0);|f1f2|=25.
|pf1|+|pf2|=6，|pf1|=4，|pf2|=2.由於42+22=(25)2.故pf1f2是直角三角形55.∴s=4.
9.已知a=，b=若a b，則實數a的取值範圍是.解：a=(1，3);
又，a≤-21-x∈(-1，-14)，當x∈(1，3)時，a≥x2+52x-7∈(5-7，-4).∴-4≤a≤-1.
10.已知a，b，c，d均為正整數，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，則b-d=
解：a3=b2，c5=d4，設a=x2，b=x3;c=y4，d=y5，x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9.
∴x+y2=9，x-y2=1，x=5，y2=將八個半徑都為1的球分放兩層放置在乙個圓柱內，並使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的乙個底面及側面都相切，則此圓柱的高等於.
解：如圖，abcd是下層四個球的球心，efgh是上層的四個球心.每個球心與其相切的球的球心距離=在平面abcd上的射影是乙個正方形.
是把正方形abcd繞其中心旋轉45而得.設e的射影為n，則
mn=故en2=3-(2-1)2=22.∴en=48.所求圓柱的高=2+48.
12.設mn=，tn是mn中元素的個數，sn是mn中所有元素的和，則limn→∞sntn= .
解：由於a1，a2，…，an-1中的每乙個都可以取0與1兩個數，tn=2n-1.
在每一位(從第一位到第n-1位)小數上，數字0與1各出現2n-2次.第n位則1出現2n-1次.∴sn=2n-2 0.11…1+2n-2 10-n.
∴limn→∞sntn=12 19=118.三、(本題滿分20分)13.設32≤x≤5，證明不等式2x+1+2x-3+15-3x<219.
解：x+1≥0，2x-3≥0，15-3x≥0. 32≤x≤5.由平
均不等式
x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤14+x4.∴2x+1+2x-3+15-3x=x+1+x+1+2x-3+15-3x≤214+x.但214+x在32≤x≤5時單調增.
即214+x≤214+5=219.故證.
四、(本題滿分20分)
14.設a、b、c分別是複數z0=ai，z1=12+bi，z2=1+ci(其中a，b，c都是實數)對應的不共線的三點.證明：
曲線z=z0cos4t+2z1cos2tsin2t+z2sin4t (t∈r)
與△abc中平行於ac的中位線只有乙個公共點，並求出此點.解：
曲線方程
為：z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2即y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a (0≤x≤1).①
若a-2b+c=0，則z0、z1、z2三點共線，與已知矛盾，故a-2b+c
0.於是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線.
ab中點m：14+12(a+b)i，bc中點n：34+12(b+c)i.
與ac平行的中位線經過m(14，12(a+b))及n(34，12(b+c))兩點，其方程為
4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.(14≤x≤34).②令4(a-2b+c)x2+8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c.
即4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由a-2b+c 0，得4x2+4x+1=0，
此方程在[14，34]內有惟一解：x=12.以x=12代入②得，y=14(a+2b+c).∴所求公共點座標為(12，14(a+2b+c)).五、(本題滿分20分)
15.一張紙上畫有乙個半徑為r的圓o和圓內乙個定點a，且oa=a，摺疊紙片，使圓周上某一點a剛好與點a重合.這樣的每一種摺法，都留下一條摺痕.
當a取遍圓周上所有點時，求所有摺痕所在直線上點的集合.
解：對於⊙o上任意一點a，連aa，作aa的垂直平分線mn，連oa .交mn於點p.顯然op+pa=oa =r.由於點a在⊙o內，故oa=aa)為長軸的橢圓c.
而mn上任一異於p的點q，都有oq+qa=oq+qa >oa .故點q在橢圓c外.即摺痕上所有的點都在橢圓c上及c外.
反之，對於橢圓c上或外的一點s，以s為圓心，sa為半徑作
圓，交⊙o於a，則s在aa的垂直平分線上，從而s在某條摺痕上.
最後證明所作⊙s與⊙o必相交.
1當s在⊙o外時，由於a在⊙o內，故⊙s與⊙o必相交;2當s在⊙o內時(例如在⊙o內，但在橢圓c外或其上的點s )，取過s的半徑od，則由點s在橢圓c外，故os +s a≥r(橢圓的長軸).即s a≥s d.於是d在⊙s內或上，即⊙s與⊙o必有交點.
於是上述證明成立.
綜上可知，摺痕上的點的集合為橢圓c上及c外的所有點的集合.
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