一、（20分）某甲設計了1個如圖復19-1所示的「自動噴泉」裝置，其中a、b、c為3個容器，d、e、f為3根細管，管栓k是關閉的．a、b、c及細管d、e中均盛有水，容器水面的高度差分別為和如圖所示．a、b、c的截面半徑為12cm，d的半徑為0.2cm．甲向同伴乙說：「我若擰開管栓k，會有水從細管口噴出．」乙認為不可能．理由是：
「低處的水自動走向高外，能量從哪兒來？」甲當即擰開k，果然見到有水噴出，乙啞口無言，但不明白自己的錯誤所在．甲又進一步演示．在擰開管栓k前，先將噴管d的上端加長到足夠長，然後擰開k，管中水面即上公升，最後水面靜止於某個高度處．
(1)．論證擰開k後水柱上公升的原因．
(2)．當d管上端足夠長時，求擰開k後d中靜止水面與a中水面的高度差．
(3)．論證水柱上公升所需能量的**．
二、 (18 分) 在圖復19-2中，半徑為的圓柱形區域內有勻強磁場，磁場方向垂直紙面指向紙外，磁感應強度隨時間均勻變化，變化率(為一正值常量),圓柱形區外空間沒有磁場，沿圖中弦的方向畫一直線，並向外延長，弦與半徑的夾角．直線上有一任意點，設該點與點的距離為，求從沿直線到該點的電動勢的大小．
三、（18分）如圖復19-3所示，在水平光滑絕緣的桌面上，有三個帶正電的質點1、2、3，位於邊長為的等邊三角形的三個頂點處。為三角形的中心，三個質點的質量皆為，帶電量皆為。質點 1、3之間和2、3之間用絕緣的輕而細的剛性杆相連，在3的連線處為無摩擦的鉸鏈。
已知開始時三個質點的速度為零，在此後運動過程中，當質點3運動到c處時，其速度大小為多少？
四、（18分）有人設計了下述裝置用以測量線圈的自感係數．在圖復19-4-1中，e為電壓可調的直流電源。k為開關，為待測線圈的自感係數，為線圈的直流電阻，d為理想二極體，為用電阻絲做成的電阻器的電阻，a為電流錶。將圖復19-4-1中、之間的電阻線裝進圖復19-4-2所示的試管1內，圖復19-4-2中其它裝置見圖下說明．其中注射器筒5和試管1組成的密閉容器內裝有某種氣體（可視為理想氣體），通過活塞6的上下移動可調節毛細管8中有色液注的初始位置，調節後將閥門10關閉，使兩邊氣體隔開．毛細管8的內直徑為．
已知在壓強不變的條件下，試管中的氣體溫度公升高1k時，需要吸收的熱量為，大氣壓強為。設試管、三通管、注射器和毛細管皆為絕熱的，電阻絲的熱容不計．當接通電鍵k後，線圈中將產生磁場，已知線圈中儲存的磁場能量，為通過線圈的電流，其值可通過電流錶a測量，現利用此裝置及合理的步驟測量的自感係數．
1．簡要寫出此實驗的步驟．
2．用題中所給出的各已知量（、、、、等）及直接測得的量匯出的表示式，
五、（20分）薄凸透鏡放在空氣中時，兩側焦點與透鏡中心的距離相等。如果此薄透鏡兩側的介質不同，其折射率分別為和，則透鏡兩側各有乙個焦點（設為和），但、和透鏡中心的距離不相等，其值分別為和。現有乙個薄凸透鏡，已知此凸透鏡對平行光束起會聚作用，在其左右兩側介質的折射率及焦點的位置如圖復19-5所示。
1．試求出此時物距，像距，焦距、四者之間的關係式。
2．若有一傍軸光線射向透鏡中心，已知它與透鏡主軸的夾角為，則與之相應的出射線與主軸的夾角多大？
3．，，，四者之間有何關係？
六、（20分）在相對於實驗室靜止的平面直角座標系中，有乙個光子，沿軸正方向射向乙個靜止於座標原點的電子．在軸方向探測到乙個散射光子．已知電子的靜止質量為，光速為,入射光子的能量與散射光子的能量之差等於電子靜止能量的1／10．
1．試求電子運動速度的大小,電子運動的方向與軸的夾角；電子運動到離原點距離為（作為已知量）的點所經歷的時間．
2．在電子以1中的速度開始運動時，一觀察者相對於座標系也以速度沿中電子運動的方向運動(即相對於電子靜止)，試求測出的的長度．
七、（26分）一根不可伸長的細輕繩，穿上一粒質量為的珠子（視為質點），繩的下端固定在點，上端繫在輕質小環上，小環可沿固定的水平細桿滑動（小環的質量及與細桿摩擦皆可忽略不計），細桿與在同一豎直平面內．開始時，珠子緊靠小環，繩被拉直，如圖復19-7-1所示，已知，繩長為，點到杆的距離為，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過程中到達最低點前繩子被拉斷，求細繩被拉斷時珠子的位置和速度的大小（珠子與繩子之間無摩擦）
注：質點在平面內做曲線運動時，它在任一點的加速度沿該點軌道法線方向的分量稱為法向加速度，可以證明，，為質點在該點時速度的大小，為軌道曲線在該點的「曲率半徑」，所謂平面曲線上某點的曲率半徑，就是在曲線上取包含該點在內的一段弧，當這段弧極小時，可以把它看做是某個「圓」的弧，則此圓的半徑就是曲線在該點的曲率半徑．如圖復19-7-2中曲線在點的曲率半徑為，在點的曲率半徑為．
2023年全國高校自主招生模擬試卷一
一、參考解答
實踐證明，甲的設計是正確的，所以乙的結論肯定是錯的。
（1）設大氣壓為，水的密度為。擰開前的情況如圖復解19-l的（a）圖所示。由流
體靜力學可知，、中氣體的壓強為
（1）中氣體的壓強為
2）由（1）、（2）兩式可得
即，當擰開後，中氣體壓強降至，此時
3即管中容器水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以管中水柱上公升。
（2）擰開後，水柱上公升，因管上端已足夠長，故水不會從管口噴出．設到中的水面靜止時中增加水量的體積為，則中減少水量的體積亦為，其水面將略有降低，因而及中氣體壓強路有下降，中的水將通過管流入中，當從流入水量的體積等於時，、中氣體壓強恢復原值。因為、、的半徑為管半徑的60倍，截面積比為3600倍，故、、中少量水的增減（）引起的、、中水面高度的變化可忽略不計，即和的數值保持不變。
設中水面靜止時與中水面的高度差為，（見圖復解19-1（b）），則有
4）由此可得5）
（3）將圖復解 19-l（a）和(b)兩圖相比較可知，其差別在於體積為的水從移至中，另的水又由移入中，前者重力勢能減少，而後者重力勢能增大，前者的重力勢能減少量為
6）中增加的水柱的重心離中水面的高度為，故後者的重力勢能增量為
7）即。
由此可知，體積為的水由流入中減少的勢能的一部分轉化為同體積的水由進入中所需的勢能，其餘部分則轉化為水柱的動能，故發生上下振動，中水面靜止處為平衡點．由於水與管間有摩擦等原因，動能逐步消耗，最後水面停留在距中水面處。
二、參考解答
由於圓柱形區域內存在變化磁場，在圓柱形區域內外空間中將產生渦旋電場，電場線為圓，圓心在圓柱軸線上，圓面與軸線垂直，如圖中虛點線所示．在這樣的電場中，沿任意半徑方向移動電荷時，由於電場力與移動方向垂直，渦旋電場力做功為零，因此沿半徑方向任意一段路徑上的電動勢均為零．
1．任意點在磁場區域內：令為任意點（見圖復解19-2-1），在圖中連直線與。取閉合迴路，可得迴路電動勢，式中，，分別為從到、從到、從到的電動勢。由前面的分析可知，，故
1）令的面積為，此面積上磁通量，由電磁感應定律，迴路的電動勢大小為
根據題給的條件有
2）由圖復解19-2-2可知
3）由（1）、（2）、（3）式可得沿線段的電動勢大小為
4）2．任意點在磁場區域外：令為任意點（見圖復解19-2-2），。在圖中連、。取閉合迴路，設迴路中電動勢為，根據類似上面的討論有
5）對於迴路，迴路中磁通量等於迴路所包圍的磁場區的面積的磁通量，此面積為，通過它的磁通量。根據電磁感應定律可知迴路中電動勢的大小
6）在圖中連，令，則，於是
當時，，
中有於是得
7）由（5）、（6）、（7）式可得沿線的電動勢的大小為
8）三、參考解答
以三個質點為系統，由對稱性可知，開始時其質心應位於處，因為質點系所受的合外力為零，由質心運動定理可知，質心總是固定不動的。質點1、2在靜電力作用下，彼此間距離必增大，但不可能保持在沿起始狀態時1、2連線上運動，若是那樣運動，由於杆不能伸長，質點3必向左運動，三者的質心勢必亦向左運動，這與「質心不動」相矛盾，故不可能。由此可知，由於桿為剛性，質點1、2在靜電力作用下，要保持質心不動，質點1、2必將分別向題圖中右上方和右下方運動，而質點3將向左運動．當3運動到處時，1、2將運動到、處，、、三點在一直線上，1、2的速度方向向右，3的速度方向左（如圖復解19-3所示）。
令、、分別表示此時它們的速度大小，則由對稱性可知此時三質點的總動能為1）
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