2013～2014學年度上學期期中考試
高三年級數學（理科）試卷
本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：（本題共12個小題，每小題5分，共60分，在四個選項中，只有一項是符合要求的）
1．平面向量與的夾角為60°，則（ ）
（a） （b） （c）4 （d）12
2．若集合則「」是「」的（ ）
（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件（c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件
3．已知平面向量的夾角為且，在中，，
，為中點，則( )
a.2b.4c.6d.8
4．某幾何體的三檢視如右圖（其中側檢視中的圓弧是半圓），
則該幾何體的表面積為（ ）
（a） （b）
（c） （d）
5．已知等差數列中，，記，s13=( )
a．78b．68c．56d．52
6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線漸近線的乙個交點為，則此雙曲線的方程為（ ）
a． b． c． d．
7．在△中,角所對的邊分別為,且滿足,則的最大值是( )
abc. d. 2
8．若函式的圖象在處的切線與圓相切，則的最大值是（ ）
（a）4 （bc）2d）
9. 在橢圓中，分別是其左右焦點，若橢圓上存在一點p使得，則該橢圓離心率的取值範圍是( )
a． b． c． d．
10．已知a、b、c是球o的球面上三點，三稜錐o﹣abc的高為2且∠abc=60°，ab=2，bc=4，則球o的表面積為（ ）
a． bc. d.
11．已知定義在r上的函式對任意的都滿足，當時，，若函式至少6個零點，則取值範圍是（ ）
（a） （b） （c） （d）
12．對於定義域為的函式和常數，若對任意正實數，使得恆成立，則稱函式為「斂函式」．現給出如下函式：
其中為「斂1函式」的有
ab．③④ cd．①②③
ⅱ卷非選擇題 （共90分）
二、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分. 把每小題的答案填在答題紙的相應位置）
13. 過點的直線與圓截得的弦長為，則該直線的方程為
14已知動圓的圓心c在拋物線x2=2py（p＞0）上，該圓經過點a（0，p），且與x軸交於兩點m、n，則sin∠mcn的最大值為 ．
15.如果直線和函式的圖象恆過同一
個定點，且該定點始終落在圓的內部或圓上，那麼的取值範圍
16．已知函式定義在r上的奇函式，當時，，給出下列命題：
①當時函式有2個零點
③的解集為 ④，都有
其中正確的命題是
三、解答題（共7個題， 共70分，把每題的答案填在答卷紙的相應位置）
17．如圖所示，扇形aob,圓心角aob的大小等於，半徑為2，在半徑oa上有一動點c，過點c作平行於ob的直線交弧ab於點p.
（1）若c是半徑oa的中點，求線段pc的長；
（2）設,求面積的最大值及此時的值。
18. 數列的前項和為，且是和的等差中項，等差數列滿足，.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，證明：.
19．（12分）如圖，四邊形pcbm是直角梯形，∠pcb=90°，pm∥bc，pm=1，bc=2．又ac=1，∠acb=120°，ab⊥pc，直線am與直線pc所成的角為60°．
（1）求證：pc⊥ac；
（2）求二面角m﹣ac﹣b的余弦值；
（3）求點b到平面mac的距離．
21．已知函式f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內有極值．
（i）求實數a的取值範圍；
（ii）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x2）﹣f（x1）≥ln2+．
請考生在第22、23兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定題目。如果多做，則按所做的第乙個題目計分。
22. 如圖，已知⊙o的半徑為1，mn是⊙o的直徑，過m點作⊙o的切線am，c是am的中點，an交⊙o於b點，若四邊形bcon是平行四邊形.
（ⅰ）求am的長；
（ⅱ）求sin∠anc．
23.已知函式。
（1）若的解集為，求實數的值。
（2）當且時，解關於的不等式。
2013～2014學年度上學期期中考試
高三年級數學（理科）答案
一、選擇題
baaad cadbc ac
11. 由得，因此，函式週期為2.因函式至少6個零點，可轉化成與兩函式圖象交點至少有6個，需對底數進行分類討論.
當時：得，即.當時：
得，即.所以取值範圍是.
12. ①；由於函式遞增，那麼不會存在乙個正數，滿足不等式。
②；當x>0,c=2,那麼存在x，滿足題意，成立。
③ ；對於1④.=1-，x>1,c=3，則可知滿足題意。故選c.
二、填空題
13、 14、1 15、 16. ③④
14. 由題意，設c（x0，y0），則⊙c的方程（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+（y0﹣p）2．
把y=0和x02=2py0代入整理得x2﹣2x0x+x02+p2=0．
設m、n的橫座標分別為x1、x2，則x1=x0﹣p，x2=x0+p．∴|mn|=|x1﹣x2|=2p．
∵|cm|=|cn|==
∴=1﹣∴﹣1≤cos∠mcn＜1，
∵0＜∠mcn＜π∴0＜sin∠mcn≤1，
∴sin∠mcn的最大值為1故答案為：1
16. 設，則，故，所以，故①錯；因為定義在r上的奇函式，所以，又，，故有個零點，②錯；當時，令，解得，當時，令
解得，綜上的解集為，③正確；當時，，在處取最小值為，當時，，在處取最大值為，由此可知函式在定義域上的最小值為，最大值為，而，所以對任意的，都有，④正確
三、解答題
17、18、（1）∵是和的等差中項
當時當時，，
∴，即3分
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，
5分設的公差為
6分（27分
∴ 9分
10分∴數列是乙個遞增數列
綜上所述12分
19、解：方法1：（1）證明：∵pc⊥bc，pc⊥ab，∴pc⊥平面abc，∴pc⊥ac．（2分）
（2）取bc的中點n，連mn．∵pm=∥cn，∴mn=∥pc，∴mn⊥平面abc．
作nh⊥ac，交ac的延長線於h，連線mh．
由三垂線定理得ac⊥mh，∴∠mhn為二面角m﹣ac﹣b的平面角．
∵直線am與直線pc所成的角為60°，
∴在rt△amn中，∠amn=60°．
在△acn中，．
在rt△amn中，．
在rt△nch中，．
在rt△mnh中，∵，∴．
故二面角m﹣ac﹣b的余弦值為．（8分）
（3）作ne⊥mh於e．∵ac⊥平面mnh，∴ac⊥ne，∴ne⊥平面mac，
∴點n到平面mac的距離為．
∵點n是線段bc的中點，
∴點b到平面mac的距離是點n到平面mac的距離的兩倍為．（12分）
方法2：（1）證明：∵pc⊥bc，pc⊥ab，∴pc⊥平面abc，∴pc⊥ac．（2分）
（2）在平面abc內，過c作bc的垂線，並建立空間直角座標系如圖所示．
設p（0，0，z），則．．
∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．
設平面mac的乙個法向量為=（x，y，1），則由
得得∴．
平面abc的乙個法向量為．．
顯然，二面角m﹣ac﹣b為銳二面角，∴二面角m﹣ac﹣b的余弦值為．（8分）
（3）點b到平面mac的距離．（12分）
20、解析1分）
則橢圓方程為即
設則當時，有最大值為
解得∴，橢圓方程是 （4分）
（ⅱ）設方程為
由整理得
由，得.
6分）∴ 則,
由點p在橢圓上，得化簡得① （8分）
又由即將，代入得
化簡，得
則10分）
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