[典例剖析]
例1. 已知函式的最小正週期為，則該函式的圖象（ a ）
a．關於點對稱b．關於直線對稱
c．關於點對稱d．關於直線對稱
例2.求下列函式的定義域:
(1)f(x)=lg(sinx-cosx);(2)f(x)=.
點拔:先轉化為三角不等式,可利用單位圓內的三角函式線或三角函式圖象求解.
解:(1)依題意得sinx-cosx>0,∴sinx>cosx,在同一直角座標系中作出函式y=sinx與y=cosx在[0,2π]的圖象(或利用單位圓中的三角函式線):
由圖可知,
2kπ+(2)依題意,得∴
在直角座標系中作出函式y=cosx,x [-π,π]與y=-的圖象(或利用單位圓中的三角函式線,如圖),
得∴函式f(x)的定義域為.
例3.求下列函式的值域:
(1)y=; (2)y=2cos(+x)+2cosx(-
(3)y=.
解:(1)y===2cosx(1+cosx)=2cos2x+2cosx=2(cosx+)2- (cosx≠1).
由於-1≤cosx<1,∴-≤cosx+<,∴-≤2(cosx+)2-<4,∴所求函式的值域為[-,4).
(2)y=2coscosx-2snsinx+2cosx=3cosx-sinx=2 (cosx-sinx)= 2cos(x+).
由-,得-∴所求函式的值域為(-,2].
(3)由於(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx,
∴sinxcosx=,∴y=
===,∴≤y≤,又由sinx-cosx+1≠0,得y≠1,故所求函式的值域為[,1) (1,].
[考點訓練]
1.函式f(x)=lg的定義域是d)
a.{x|2kπ-b.{x|2kπ+c.{x|kπ-d.{x|kπ+2.下列函式中,最小正週期為π,且圖象關於直線x=成軸對稱圖形的是c)
y=sin(2x+)
3.如果|x|≤,則f(x)=cos2x+sinx的最小值是 (d)
a. b. c.-1 d.
4.設m為實數,則f(x)=(sinx+mcosx)2的最小正週期為
b)abc.2π d.
5.已知函式f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b(a<0)的定義域是[-,0],值域是[-5,1],則a、b的值分別是
a)6.函式f(x)=tanωx(ω>0)的圖象相鄰的兩支截平行於y軸的直線所得線段長為,則的f()值為 0 .
7.函式y=的定義域是,值域是.
8.求函式y=logsin2x[1-cos(-x)]的定義域.
解:要使函式有意義,當且僅當
由(1)得sinx<,解得2kπ+由(2)得2kπ<2x<2kπ+π且2x≠2kπ+, kz,
∴kπ9.設a≥0,若y=cos2x-asinx+b的最大值為0,最小值為-4,試求a與b的值.
解:y=1-sin2x-asinx+b=-sin2x-asinx+1+b.
令sinx=t,則原函式解析式可化為y=-t2-at+1+b=-(t+)2+1+b+ (-1≤t≤1).
(1)若- [-1,0),即a (0,2]時,
則t=1時,ymin=b-a=-4,t=-時,ymax=1+b+=0.
由、聯立解得a=2,b=-2.
(2) - (-,-1),即a>2時,
則t=1時,ymin=b-a=-4,t=-1時, ,ymax=b+a=0.
由、聯立解得a=2,b=-2,這與a>2相矛盾.
綜上,只有一組解:a=2,b=-2.
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