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題目同餘的應用
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日期同餘的運用
【摘要】 ： 在日常生活中，我們常常要記住的，不是某些整數，而是這些整數的餘數，所以我們要通過同餘來解決這方面的問題。
【關鍵字】：同餘模餘數
abstract: in the daily life, we often want to remember, not certain integers, but the remainder of the integer,
we will through with congruence to solve this problem.
key words ：ongruence mould remainder
一、 定義及其性質
定義：給定義正整數m，把它叫做模。如果用m去除任意兩個整數a和b所得餘數相同，我們就說a, b模m同餘，記作.如果餘數不同，我們就說a,b對模m不同餘，記作。
性質：甲
乙若，則。
丙 ，，則。
丁 （i）則
ii）則。
戊 ，則
特別的，若，則
己 ，且則
庚 （i）若,k>0,則。
（ii）若，d是a,b及m的任一正公因數，則
辛 ，則
壬若，，則
癸若，則，因而若d能整除m及a，b二數之一，則d必能整除a,b中的另乙個。
二、 定理
1、 整數a,b對模m同餘的充分必要條件是m/a-b,，即，t是整數。
2、 若
則。特別地，若則
三、檢查因數的一些方法
1、一整數能被3（9）整除的必要且充分條件是它的十進位數碼和能被3（9）整除。
2、設正整數
則7（或11，或13）整除的必要且充分條件是7（或11，或13）整除
3、 棄九法：
假設我們由普通乘法運算求出整數a,b的乘積p，並令
我們說：如果
那麼所求得的乘積是錯誤的。因為定理2及性質戊，， 若
則，故ab不是p.
下面我們通過一些例題來進一步說明同餘的運用：
例1：求一切正整數n使可被3整除。
解：當n為奇數時，，
當n為偶數時，。
所以，當n為奇數是，命題成立。
例2;今天星期一，問從今天起再過天時星期幾？
解1)2)(1) 乘以（2）得：
3）4）
由（3）（4）得，
所以即當天為星期五。
例3： 證明
證：，即原命題得證
我們知道，運用同餘的知識可以解決許多的問題，比如說費馬定理，尤拉定理及迴圈小數。都應用了同餘。下面我們進一步討論：
尤拉定理：設m是大於的整數，,則
費馬定理：若p是素數，則
定理 1 有理數，0 定理 2 在定理1的條件下，若t使得能成立的是小正整數
且，則全體以b為分母的既約分數化成小數後，若可分為g個
組，每個組有t個迴圈小數，每個迴圈組小數有t個迴圈數碼，這t個迴圈
數碼在這同組的t個迴圈小數內的排列次序質數陸續把迴圈節的首位變為末
位就行了。
下面通過例題來討論
例1： 試求出分母是7,13的真分數的迴圈小數的表示，並指出他們的迴圈節長度。
解： 7是質數， （10,7）=1
由費馬定理得：
又因為所以以7為分母的真分數迴圈小數表示如下
1/7=0.142857, 3/7=0.428571
2/7=0.285714 6/7=0.857142
4/7=0.571428 5/7=0.714285
同理乙個組的分子為：1,10,9,12,3,4
另乙個組的分子為：2,5,6,7,8，11
第一組迴圈小數為
1/13=0.076923 10/13=0.769230
12/13=0.923076 3/13=0.230769
9/13=0.6923074/13=0.307692
第二組迴圈小數為：
2/13=01538467/13=0.538461
5/13=0.38461511/13=0.846153
6/13=0.4615388/13=0.615384
例2： 設p是質數，，證明
證: p是質數，由fermat定理得：
所以1）
有所以2）
由（1）（2）得
即通過這些概念及例題的分析，我們已經大概了解同餘的問題，單同餘這方面的問題還有很多，要待我們今後進一步的研究與探索。
參考文獻
【1】 閔嗣鶴，嚴士健。初等數論。北京：高等教育出版社，1957.
references
【1】minsihe, yanshijian. elementary theory. higher education press, beijing: in 1957.
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