第三十八周應用同餘問題
專題簡析：
同餘這個概念最初是由偉大的德國數學家高斯發現的。同餘的定義是這樣的：
兩個整數a，b，如果它們除以同一自然數m所得的餘數想同，則稱a，b對於模m同餘。記作：a≡b（mod ｍ）。
讀做：ａ同余於ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的餘數2，這時我們就說，對於除數5，12和47同餘，記做12≡47（mod 5）。
同餘的性質比較多，主要有以下一些：
性質（1）：對於同乙個出書，兩個數之和（或差）與它們的餘數之和（或差）同餘。比如：
32除以5餘數是2，19除以5餘數是4，兩個餘數的和是2+4=6。「32+19」除以5的餘數就恰好等於它們的餘數和6除以5的餘數。也就是說，對於除數5，「32+19」與它們的餘數和「2+4」同餘，用符號表示就是：
32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）
性質（2）：對於同意個除數，兩個數的乘積與它們餘數的乘積同餘。
性質（3）：對於同意個除數，如果有兩個整數同餘，那麼它們的差就一定能被這個除數整除。
性質（4）：對於同意個除數，如果兩個整數同餘，那麼它們的乘方仍然同餘。
應用同餘性質幾萼體的關鍵是要在正確理解的基礎上靈活運用同餘性質。把求乙個較大的數除以某數的餘數問題轉化為求乙個較小的數除以這個數的餘數，使複雜的題變簡單，使困難的題變容易。
例題1：
求1992×59除以7的餘數。
應用同餘性質（2）可將1992×59轉化為求1992除以7和59除以7的餘數的乘積，使計算簡化。1992除以7餘4，59除以7餘3。根據同餘性質，「4×3」除以7的餘數與「1992×59」除以7的餘數應該是相同的，通過求「4×3」除以7的餘數就可知道1992×59除以7的餘數了。
因為1992×59≡4×3≡5（mod 7）
所以1992×59除以7的餘數是5。
練習1：
1、求4217×364除以6的餘數。
2、求1339655×12除以13的餘數。
3、求879×4376×5283除以11的餘數。
例題2：
已知2023年的國慶節是星期一，求2023年的國慶節是星期幾？
一星期有7天，要求2023年的國慶節是星期幾，就要求從2023年到2023年的國慶節的總天數被7除的餘數就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同餘性質，就可以不必算出這個總天數。
2023年國慶節到2023年國慶節之間共有2個閏年7個平年，即有「366×2+365×7」天。因為366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）
答：2023年的國慶節是星期五。
練習2：
1、已知2023年元旦是星期二。求2023年元旦是星期幾？
2、已知2023年的「七月一日」是星期一。求2023年的「十月一日」是星期幾？
3、今天是星期四，再過365的15次方是星期幾？
例題3：
求2001的2003次方除以13的餘數。
2001除以13餘12，即2001≡12（mod 13）。根據同餘性質（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是乙個很大的值，要求它的餘數比較困難。這時的關鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同餘的。
經試驗可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根據同餘性質（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
因為：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）
12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
所以2001的2003次方除以13的餘數是12。
練習3：
1、求12的200次方除以13的餘數。
2、求3的92次方除以21餘幾。
3、9個小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最後剩下幾粒？
例題4：
自然數16520，14903，14177除以m的餘數相同，m最大是多少？
自然數16520，14903，14177除以m的餘數相同，換句話說就是16520≡14903≡14177（mod m）。根據同餘性質（3），這三個餓數同餘，那麼它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數是多少？
因為16520—14903=1617=3×7的平方×11
16520—14177=2343=3×11×71
14903—14177=726=2×3×11的平方
m是這些差的公約數，m最大是3×11=33。
練習4：
1、若2836、4582、5164、6522四個整數都被同乙個兩位數相除，所得的餘數相同。除數是多少？
2、乙個整數除226、192、141都得到相同的餘數，且餘數不為0，這個整數是幾？
3、當1991和1769除以某乙個自然數m時，餘數分別為2和1，那麼m最小是多少？
例題5：
某數用6除餘3，用7除餘5，用8除餘1，這個數最小是幾？
我們可從較大的除數開始嘗試。首先考慮與1模8同餘的數，9≡1（mod 8），但9輸以7餘數不是5，所以某數不是9。17≡1（mod 8），17除以7的餘數也不是5。
25≡1（mod 8），25除以7的餘數也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的餘數正好是5，而且33除以6餘數正好是3，所以這個數最小是33。上面的方法實際是一種列舉法，也可以簡化為下面的格式：
被8除餘1的數有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除餘5的數有：33，89，……這些數中被6除餘3的數最小是33。
練習5：
1、某數除以7餘1，除以5餘1，除以12餘9。這個數最小是幾？
2、某數除以7餘6，除以5餘1，除以11餘3，求此數最小值。
3、在乙個圓圈上有幾十個孔（如圖38-1），小明像玩跳棋那樣從a孔出發沿逆時針方向每隔幾個孔跳一步，希望一圈以後能跑回a孔，他先試著每隔2孔跳一步，也只能跳到b孔。最後他每隔6孔跳一步，正好跳回a孔。問：
這個圓圈上共有多少個孔？
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