現行高中數學教科書第二冊（下b）第九章提到了法向量的定義：如果向量平面α，那麼向量叫做平面α的法向量。但是對於法向量在立體幾何中的運用卻沒有詳細介紹，其實靈活運用法向量去求解某些常見的立幾問題如「求點到平面的距離」、「求異面直線間的距離」、「求直線與平面所成的角」、「求二面角的大小」、「證明兩平面平行或垂直」等是比較簡便的，現介紹如下：
一、求點到平面的距離
設a是平面α外一點，ab是α的一條斜線，交平面α於點b，而是平面α的法向量，那麼向量在方向上的正射影長就是點a到平面α的距離h，
所以 例1：已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f分別是b1c1和c1d1的中點，
求點a1到平面dbef的距離。
解：如圖建立空間直角座標系，
＝（1，1，0） ，＝（0，，1），＝（1，0，1
設平面dbef的法向量為＝（x，y，z），則有：
即 x＋y＝0
y＋z＝0
令x＝1, y=－1, z=, 取＝（1，－1，），則a1到平面dbef的距離
注：此題a1在平面dbef的射影難以確定，給求解增加難度，若利用（※）式求解，關鍵是求出平面dbef的法向量。法向量的求解有多種，可直接利用向量積，在平面內找兩個不共線的向量，例如和，那麼＝×。
但高中教材未曾涉及向量積，這裡根據線面垂直的判定定理，設＝（x，y，z），通過建立方程組求出一組特解。
二、求異面直線間的距離
假設異面直線a、b，平移直線a至a*且交b於點a，那麼直線a*和b確定平面α，且直線a∥α，設是平面α的法向量，那麼⊥，⊥。所以異面直線a和b的距離可以轉化為求直線a上任一點到平面α的距離，方法同例1。
例2：已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1，求直線da1和ac間的距離。
解：如圖建立空間直角座標系，
則＝（－1，1，0），＝（1，0，1）
連線a1c1，則a1c1∥ac,設平面a1c1d的
法向量為＝（x，y，z）,
由可解得＝（1，1，－1），又＝（0，0，1）
所以點a到平面a1c1d的距離為，即直線da1和ac間的距離為。
注：這道題若用幾何推理，需鏈結d1b，交△da1c1和△b1ca分別為e、f，並證明△d1de≌△b1be，且ef恰好等於da1和ac的公垂線段長而且三等分線段d1b，進而求解ef，解題過程幾經轉化，還需新增大量輔助線，不如用法向量求解更直接簡便。
三、求直線與平面所成的角
直線ab與平面α所成的角θ可看成是向量與平面α的法向量所成的銳角的餘角，所以有。
例3：已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e是a1b1的中點，求直線ae與平面abc1d1所成的角。
解：如圖建立空間直角座標系，
＝（0，1，0），＝（－1，0，1），
＝（0，，1）
設平面abc1d1的法向量為＝（x，y，z）,
由可解得＝（1，0，1）
設直線ae與平面abc1d1所成的角為θ，則，
所以直線ae與平面abc1d1所成的角為arcsin。
四、求二面角的大小
已知二面角α－l－β，點a是二面角α－l－β內一點，過點a向α、β引垂線，垂足分別為c、b，則ac、ab確定平面abc，延伸平面abc，交直線l於點d，根據二面角的平面角的定義，易證∠cdb就是二面角α－l－β的平面角。∠cdb＝180°－∠cab，而∠cab可看成α、β的法向量、所成的角（或其補角）。
例4：已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1，求平面a1bc1與平面abcd所成的二面角的大小。
解：如圖建立空間直角座標系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）
設、分別是平面a1bc1與平面abcd的法向量，
由可解得＝（1，1，1）
易知＝（0，0，1），
所以，＝
所以平面a1bc1與平面abcd所成的二面角大小為arccos或－arccos。
注：用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同求
出來的角度當然就不同，所以最後還應該根據這個二面角的實際形態確定其大小。
五、證明兩平面平行或垂直
若α∥β， 則∥；反之也成立。
若α⊥β， 則 ⊥；反之也成立。
例5：已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f、m分別是a1c1、a1d和b1a上任一點，求證：平面a1ef∥平面b1mc。
證明：如圖建立空間直角座標系，
則＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）
1，0，1）， ＝（0，－1，－1）
設且均不為0）
設、分別是平面a1ef與平面b1mc的法向量，
由可得即
解得：＝（1，1，－1）
由可得即
解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，
所以平面a1ef∥平面b1mc。
注：如果求證的是兩個平面垂直，也可以求出兩個平面的法向量後，利用⊥來證明。
利用法向量來解決上述五種立體幾何題目，最大的優點就是不用象在進行幾何推理時那樣去確定垂足的位置，完全依靠計算就可以解決問題。但是也有侷限性，高中階段用代數推理解立體幾何題目，關鍵就是得建立空間直角座標系，把向量通過座標形式表示出來，所以能用這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正（長）方體、直稜柱、正稜錐等。
利用法向量解2023年高考立體幾何試題
例5 （05江西理）如圖4，在長方體
中，ad==1，ab=2，點e在稜ab
上移動。
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）當e為ab的中點時，求點e到面
的距離；
（ⅲ）ae等於何值時，二面角的大小為。
分析本題是立體幾何試題的常見題型，考查的是傳統內容。證線線垂直，求點到平面的距離，求二面角的大小，可用傳統的幾何方法求解，也可利用向量法求解。下面給出向量法求解。
解：建立如圖所示的空間直角座標系，設，則，，，
，。 （ⅰ）證明：由，，
，有，於是。
（ⅱ）e是ab的中點，得。
，，。 設平面的法向量為，單位法向量為，
由，解得。
於是，有。
設點e到平面的距離為，則
。 所以點e到平面的距離為。
（ⅲ）平面的法向量，設平面的法向量。
又，。 由，得
，解得，於是。
設所求的二面角為，則。
有，得。
解得，所以，當ae=時，二面角的大小為。
例6 （05全國卷ⅱ）如圖5，四稜錐中，
底面abcd為矩形，底面abcd，ad=pd，
e，f分別cd、pb的中點。
（ⅰ）求證：ef平面pab；
（ⅱ）設ab=bc，求ac與平面aef所成角的大小。
分析：本題考查的是立體幾何的重點內容：直線與平面
垂直和直線與平面所成的角，考查空間想像能力和推理
論證能力，本題也是一題兩法。
（ⅰ）證明：建立空間直角座標系（如圖5），設ad=
pd=1，ab=（），則e(a,0,0),c(2a,0,0),a(0,1,0),b(2a,1,0),p(0,0,1),.
得，，。
由，得，即，
同理，又，
所以，ef平面pab。
（ⅱ）解：由，得，即。
得，，。
有，，。
設平面aef的法向量為
由，解得。
於是。 設ac與面aef所成的角為，與的夾角為。
則。得。
所以，ac與平面aef所成角的大小為。
說明：用傳統的幾何方法，在限定的時間內，很難找到ac與平面aef所成的角。而利用平面的法向量解題，可順利地避開這一切麻煩，只要找到平面的法向量，利用向量間的代數運算，可方便簡捷地解決此題。
利用法向量也可順利求解2005全國卷ⅰ第18題：
如圖6 已知四稜錐的底面為直角梯
形，ab//dc，，底面abcd，
且pa=ad=dc=，m是pb的中點。
（ⅰ）證明：面pad面pcd；
（ⅱ）求ac與pb所成的角；
（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小。
解：（略）
說明：本題求二面角的大小，由於不易找到二面角的平面角，無論是用傳統的幾何方法還用一般的向量方法，都很不易解決，這也是造成立體幾何解答題得分不高的原因之一，如果
採用平面的法向量解題，情況就大不相同了，請大家仔細體會。
以上介紹了平面的法向量及其幾個引理，以此為工具，解決了立體幾何中的部分難題。利用平面法向量解題，方法簡便，易於操作，可以避開傳統幾何中的作圖、證明的麻煩，又可
彌補空間想像能力的不足，發揮代數運算的長處。深入開發它的解題功能，平面法向題將在數學解題中起到越來越大的作用。
應用向量法證明正 餘 弦定理
維普資訊 江蘇省泰州市森南新村 棟 室 于志洪 向量法是一種解析方法，此法在證幾何題時，貝 口 一 由於具有幾何的直觀性，表述的簡潔性和處理方法 口 一 的一般性，因此對於數學知識的融匯貫通很有幫 口 一 助 證明 如圖 在已知現僅就著名的正 餘 弦定理的向量證明進行 的三邊 和 介紹，供高二學生學...
空間向量的應用
05級數學專公升本劉海鋒 053091049 指導老師 李文銘教授 摘要高中數學新教材中，空間向量的應用是教學的重點與難點，它既豐富多彩又靈活多樣。在應用過程中，要始終抓住向量的基本知識及如何恰到好處的建立直角座標系，使問題中的有關量符號化 向量化 然後運用向量的知識順利進行計算與推理，為解決立體幾...
立體幾何向量法 直線的方向向量和平面的法向量 學生版
直線的方向向量與平面的法向量 學生版 教學目標 理解直線的方向向量和平面的法向量 會用待定係數法求平面的法向量 教學重點 直線的方向向量和平面法向量的求法 教學難點 平面法向量的求法 教學過程 一 情境引入 在平面向量中，我們借助向量研究了平面內兩條直線平行 垂直等位置關係。如何用向量刻畫空間的兩條...