05級數學專公升本劉海鋒 053091049
指導老師（李文銘教授）
摘要高中數學新教材中，空間向量的應用是教學的重點與難點，它既豐富多彩又靈活多樣。在應用過程中，要始終抓住向量的基本知識及如何恰到好處的建立直角座標系，使問題中的有關量符號化（向量化），然後運用向量的知識順利進行計算與推理，為解決立體幾何中的問題提供新的工具。本文就空間向量在證平行（直線與平面的平行、平面與平面間的平行）、求距離（兩異面直線間的距離、點到直線的距離、直線到平面的距離、兩平行平面間的距離）、證垂直（兩異面直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面的垂直）、求夾角（兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的片面角）的應用，通過舉例，來體現它的工具性與優越性。
關鍵詞空間向量應用
一、 證平行
立體幾何中的平行，主要涉及到直線與平面的平行、平面與平面間的平行。就這兩種平行關係，舉一例來加以說明。
例1 如圖所示，已知p是平行四邊形abcd所在平面外一點，鏈結pa、pb、pc、pd，點e、f、g、h分別是△pab、△pbc、△pcd、△pda 的重心。
求證：（1）e、f、g、h四點共面
（2）平面efgh∥平面abcd
分析：首先利用共線向量證共面向量，然
後判斷線面、面面關係
證明：（1）分別延長pe、pf、pg、ph，
交對邊於m、n、q、r。
∵ e、f、g、h分別是所在三角形的重心
m、n、q、r為所在邊的中點
順次連線m、n、q、r，所得四邊形為平行四邊形，且有
∵ mnqr為平行四邊形
又 =+
由共面向量定理得e、f、g、h四點共面
（2）由（1）知=，從而由mq∥eg，於是eg∥面ac
又 mn∥ef
ef∥面ac
又∵ eg∩ef=e
平面efgh∥平面abcd
注：利用向量證明點共面主要是利用共面向量定理的推論：空間一點p位於平面mab內的充分必要條件是存在有序實數對ｘ、ｙ，使=ｘ+ｙ或對空間任意一點o,有=+ｘ+ｙ
二、求距離
立體幾何中的距離，主要涉及到異面直線間的距離、點到直線的距離、直線到平面的距離、平行平面間的距離。解決這些較難的距離問題，這裡根據公式ｄ=，以例題形式來做以討論，力收化隱為顯、化難為易之效。
1. 求兩異面直線間的距離
如圖，若cd是異面直線ａ、ｂ的公垂線段，a、b分別為ａ、ｂ上任意兩點。令向量⊥ａ、⊥ｂ，則∥
∵=++
=++=
即=（其中與ａ、ｂ均垂直，a、b分別為兩異面直線上的任意兩點）
例2 如圖，正四稜柱錐s-abcd的高so=2，底邊長ab=，求異面直線bd和sc之間距離。
分析：選取底面的中心為原點建立空間直角座標系。
解：選取底面的中心為原點建立如圖所示的空間直角座標系，則
a（），b（），c（-），
d（-），s（0，0，2）
=（，，0），=（）
令向量=（ｘ、ｙ，1），且⊥，⊥，則
=01）（，，0）=0
=01）（）=000
=（-，，1）
異面直線bd和sc之間距離為ｄ==
==2．求點到直線的距離
如圖，點a平面，作ac⊥於c，令b為上任意一點，向量⊥，則
∥⊥。又
= =點a到平面的距離ｄ=，其中為平面的法向量，b為上任意一點。
例3 如圖，已知abc- a1b1c1是稜長均為a的正三稜柱，d是側稜cc的中點。
（1） 求證：平面ab1d⊥平面abb1a
（2） 求點c到平面ab1d的距離。
證明：（1）略
解：（1） ∵ abb1a為正方形
a1b⊥ab1
又由（1）知平面ab1d⊥平面abb1a
a1b⊥平面ab1d
向量是平面ab1d的乙個法向量。
設c到平面ab1d的距離為d，則
d===
==3．求直線到平面的距離
同樣原理可得到直線到平面的距離、平行平面間的距離公式。在公式ｄ=中，為已知平面法向量，a、b分別為直線和平面上的任意兩點（如圖）
例4 如圖，已知邊長為的正三角形abc中，e、f分別為bc和ac的中點，pa⊥平面abc，且pa=2，設平面過pf且與ae平行.求ae與平面間的距離
解:設、、的單位向量分別為、、，選取｛、、｝作為空間向量的一組基底，易知
===0， =2， =， =
=+=+=+
（+）=-2++
設=ｘ+ｙ+是平面的一
個法向量，則
⊥=00
⊥=02++）=0
ｙ=00
-2ｘ+ｙ+=0
=+直線ae到平面的距離
d===
4．求兩平行平面間的距離
如圖，在公式ｄ=中，向量為兩平行平面的乙個法向量，a、b分別為兩平面上的任意兩點。
例5 已知，正方體abcd- a1b1c1d1的稜長為1
（1） 求證：平面ab1c∥平面a1c1d
（2） 求平面ab1c與平面a1c1d間的距離。
解：建立如圖所示的直角座標系，則
a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），
d（0，0，0），a1（1，0，1），b1（1，1，1），
c1（0，1，1），d1（0，0，1）。
（1） 證明（略）
（2） 設平面a1c1d的乙個法向量為=（ｘ，ｙ，1），則
=01）（1，0，1）=0
=01）（0，1，1）=0
1=01
1=01
=（-1，-1，1）
平面ab1c與平面a1c1d間的距離 ｄ=
===三、證垂直
立體幾何中的垂直問題，主要涉及到異面直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面的垂直。解決這幾類問題，關鍵是建立適當的座標系，然後結合向量座標運算性質進行相關的推理運算。
1． 證異面直線間的垂直
例6 正方體ac1中，ma1b，nb1d1且a1m=a1b，b1n=b1d1。
求證：mn是異面直線a1b、b1d1的公垂線。
分析：選取以d為座標原點建立直角座標系，並設正方體的稜長為3a進行推理證明。
證明：建立如圖所示的直角座標系，設
正方體的稜長為3a，則
d(0,0,0),b(3a,3a,0),a1(3a,0,3a), b1(3a,3a,3a),d1(0,0,3a),n(2a,2a,3a),m(3a,a,2a).於是
=（0，3a,-3a）, = (-3a,-3a,0), =(-a,a,a)
由於 =0+3a2-3a2=0
故⊥又=3a2-3a2+0=0
故⊥mn是異面直線a1b、b1d1的公垂線。
2. 證直線與平面的垂直
例7 在正方體ac1中，e、f分別是稜ab、bc的中點，o是底面abcd的中心。
求證：ef⊥平面bb1o。
分析：本題用其它方法證明也較簡單，這裡旨在突顯向量的應用，建立適當的座標系，結合線面垂直的判定定理即可。
證明：建立如圖所示的直角座標
系，設正方體的稜長為2，則
b（2，2，0），b1（2，2，2），
e（2，1，0），f（1，2，0），
o（1，1，0），於是
=（-1，1，0），=（1，1，0），
=（0，0，2），從而
=（-1，1，0）（1，1，0）=0 即⊥
=（-1，1，0）（0，0，2）=0 即⊥
∵ ∩=b
ef⊥平面bb1o。
注：利用判定定理證明線面垂直時，關鍵找到平面內有兩條相交直線與該直線垂直。
3. 證平面與平面的垂直
例8 如圖，在四稜錐s-abcd中，底面abcd為正方形，sb⊥底面abcd，sb=ab，設q為sd的中點。
求證：平面sdm⊥平面scd
分析：建立適當的座標系，結合向量座標運算性質，根據兩平面垂直的判定定理即可。
證明：以b為原點，建立如圖所示的空間直角座標系，設ab=sb=2，則相關點座標為
s（0，0，2），a（0，2，0），c（2，0，0），d（2，2，0），m（0，1，0），q（1，1，1）.
從而 =（1，0，1），=（2，2，-2），
=（0，2，0）。
於是 =（1，0，1）（2，2，-2）=0
=（1，0，1）（0，2，0）=0
所以 ⊥，⊥
即 mq⊥sd mq⊥cd
又 sd∩cd=d
mq⊥平面scd
又∵ mq∈平面sdm
平面sdm⊥平面scd。
四．求夾角
立體幾何中的夾角問題，主要涉及到兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角。這幾類問題，運用空間向量知識進行求解，既快捷又簡便
1. 求兩異面直線所成的角
例9 已知三稜錐s-abc的底面是邊長為的正三角形，稜sc=2，且與底面垂直，e、d分別為bc、ab的中點。求異面直線cd、se所成的角。
解：以c為原點建立直角座標系（如
空間向量的應用大綜合
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空間向量應用學練稿
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