基本不等式（第一課時）
授課教師：浙江省桐鄉第一中學石小麗
教材：人教版高中數學必修5第三章
一、教學目標
1．通過兩個**例項，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數形結合的思想；
2．進一步提煉、完善基本不等式，並從代數角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力；
3．結合課本的**圖形，引導學生進一步**基本不等式的幾何解釋，強化數形結合的思想；
4．借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提公升解決問題的能力，體會方法與策略．
以上教學目標結合了教學實際，將知識與能力、過程與方法、情感態度價值觀的三維目標融入各個教學環節．
二、教學重點和難點
重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，並從不同角度探索不等式的證明過程；
難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，並理解基本不等式．
三、教學過程：
1．動手操作，幾何引入
如圖是2023年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標，會標是根據我國古代數學家趙爽的「弦圖」設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現了以形證數、形數統
一、代數和幾何是緊密結合、互不可分的．
**一：在這張「弦圖」中能找出一些相等關係和不等關係嗎？
在正方形中有4個全等的直角三角形．設直角三角形兩條直角邊長為，
那麼正方形的邊長為．於是，
4個直角三角形的面積之和，
正方形的面積．
由圖可知，即．
**二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出乙個矩形（兩邊分別等於兩個直角三角形的直角邊，多餘部分摺疊）．假設兩個正方形的面積分別為和（），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發現乙個不等式嗎？
通過學生動手操作，探索發現：
2．代數證明，得出結論
根據上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論：
若，則．
若，則．
學生**等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生直觀感受不等關係中的相等條件，從而進一步完善不等式結論：
（1）若，則；（2）若，則
請同學們用代數方法給出這兩個不等式的證明．
證法一（作差法）：
，當時取等號．
（在該過程中，可發現的取值可以是全體實數）
證法二（分析法）：由於，於是
要證明 ，
只要證明 ，
即證 ，
即 ，該式顯然成立，所以，當時取等號．
得出結論，展示課題內容
基本不等式:
若，則（當且僅當時，等號成立）
若，則（當且僅當時，等號成立）
深化認識：
稱為的幾何平均數；稱為的算術平均數
基本不等式又可敘述為：
兩個正數的幾何平均數不大於它們的算術平均數
3．幾何證明，相見益彰
**三：如圖，是圓的直徑，點是上一點，，．過點作垂直於的弦，連線．
根據射影定理可得：
由於rt中直角邊斜邊，
於是有當且僅當點與圓心重合時，即時等號成立．
故而再次證明：
當時，（當且僅當時，等號成立）
（進一步加強數形結合的意識，提公升思維的靈活性）
4．應用舉例，鞏固提高
例1.（1）用籬笆圍乙個面積為100平方公尺的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36公尺的籬笆圍成乙個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特徵,實現積與和的轉化）
對於，（1）若（定值），則當且僅當時，有最小值；
（2）若（定值），則當且僅當時，有最大值．
（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛鍊了他們的思維，培養了勇於探索的精神．）
例2.求的值域．
變式1. 若，求的最小值．
在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示的函式圖象，使學生再次感受數形結合的數學思想．
並通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提公升解決問題的能力，體會方法與策略．
練一練（自主練習）：
1.已知，且，求的最小值．
2.設，且，求的最小值．
5．歸納小結，反思提高
基本不等式：若，則（當且僅當時，等號成立）
若，則（當且僅當時，等號成立）
（1）基本不等式的幾何解釋（數形結合思想）；
（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法．
**展示，滲透思想：
若將算術平均數記為，幾何平均數記為
利用電腦3d技術，在空間座標系中向學生展示基本不等式的幾何背景：
平面在曲面的上方
6．布置作業，課後延拓
（1）基本作業：課本p100習題組1、2題
（3）**作業：
現有一台天平，兩臂長不相等，其餘均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？並說明你的結論．
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