二次函式問題

二次函式與四邊形

一．二次函式與四邊形的形狀

例.如圖，拋物線與x軸交a、b兩點（a點在b點左側），直線與拋物線交於a、c兩點，其中

c點的橫座標為2．

（1）求a、b 兩點的座標及直線ac的函式表示式；

（2）p是線段ac上的乙個動點，過p點作y軸的平

行線交拋物線於e點，求線段pe長度的最大值；

（3）點g是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點f，

使a、c、f、g這樣的四個點為頂點的四邊形是

平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的f

點座標；如果不存在，請說明理由．

練習．如圖，對稱軸為直線的拋物線經過點a（6，0）和 b（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點座標；

（2）設點e（，）是拋物線上一動點，且位於第四象限，四邊形oeaf是以oa為對角線的平行四邊形．求平行四邊形oeaf的面積s與之間的函式關係式，並寫出自變數的取值範圍；

①當平行四邊形oeaf的面積為24時，請判斷平行四邊形oeaf是否為菱形？

②是否存在點e，使平行四邊形oeaf為正方形？若存在，求出點e的座標；若不存在，請說明理由．

二．二次函式與四邊形的面積

例.如圖10，已知拋物線p：y=ax2+bx+c(a≠0) 與x軸交於a、b兩點(點a在x軸的正半軸上)，與y軸交於點c，矩形defg的一條邊de**段ab上，頂點f、g分別**段bc、ac上，拋物線p上部分點的橫座標對應的縱座標如下：

(1) 求a、b、c三點的座標；

(2) 若點d的座標為(m，0)，矩形defg的面積為s，求s與m的函式關係，並指出m的取值範圍；

(3) 當矩形defg的面積s取最大值時，連線df並延長至點m，使fm=k·df，若點m不在拋物線p上，求k的取值範圍.

練習．如圖，平面直角座標系中有一直角梯形omnh，點h的座標為（－8，0），點n的座標為（－6，－4）．

（1）畫出直角梯形omnh繞點o旋轉180°的圖形oabc，並寫出頂點a，b，c的座標（點m的對應點為a，點n的對應點為b，點h的對應點為c）；

（2）求出過a，b，c三點的拋物線的表示式；

（3）擷取ce=of=ag=m，且e，f，g分別**段co，oa，ab上，求四邊形befg的面積s與m之間的函式關係式，並寫出自變數m的取值範圍；面積s是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；

（4）在（3）的情況下，四邊形befg是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，並指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．

三．二次函式與四邊形的動態**

例、如圖1，在平面直角座標系中，有一張矩形紙片oabc，已知o(0，0)，a(4，0)，c(0，3)，點p是oa邊上的動點(與點o、a不重合)．現將△pab沿pb翻摺，得到△pdb；再在oc邊上選取適當的點e，將△poe沿pe翻摺，得到△pfe，並使直線pd、pf重合．

(1)設p(x，0)，e(0，y)，求y關於x的函式關係式，並求y的最大值；

(2)如圖2，若翻摺後點d落在bc邊上，求過點p、b、e的拋物線的函式關係式；

(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點q，使△peq是以pe為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點q的座標．

練習.如圖①，正方形的頂點的座標分別為，頂點在第一象限．點從點出發，沿正方形按逆時針方向勻速運動，同時，點從點出發，沿軸正方向以相同速度運動．當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為秒．

（1）求正方形的邊長．

（2）當點在邊上運動時，的面積（平方單位）與時間（秒）之間的函式圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求兩點的運動速度．

（3）求（2）中面積（平方單位）與時間（秒）的函式關係式及面積取最大值時點的座標．

（4）若點保持（2）中的速度不變，則點沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而增大；沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而減小．當點沿著這兩邊運動時，使的點有個．

（拋物線的頂點座標是．