1.數學輔導時間
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星期六：13:30-15:30 高二（ ）
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星期日：8:00-10:00 初二（微型家教已滿 ）
星期日：13:30-15:30 初一
1.數學輔導酬金
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★★★★★★★
數學高頻考點初三二次函式 （第2課）
第18期（北京s中學資料）
高考總分750分，高考得分723分
的湖南高考理科狀元的數學老師
姚老師**：152********
★★★★★★★
二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質—知識講解（提高）
【要點梳理】
要點一、二次函式與之間的相互關係
1.頂點式化成一般式
從函式解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(hk)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合併同類項就可化成一般式．
2.一般式化成頂點式
．對照，可知，．
∴ 拋物線的對稱軸是直線，頂點座標是．
3.兩根式
p1要點
二、二次函式的圖象的畫法
1.一般方法：列表、描點、連線；
2.簡易畫法：五點定形法.
其步驟為：
(1)先根據函式解析式，求出頂點座標和對稱軸，在直角座標系中描出頂點m，並用虛線畫出對稱軸．
(2)求拋物線與座標軸的交點，
當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點a、b及拋物線與y軸的交點c，再找到點c關於對稱軸的對稱點d，將a、b、c、d及m這五個點按從左到右的順序用平滑曲線鏈結起來．
二要點二。次函式圖象的特徵與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關係
要點三、二次函式的圖象與性質
1.二次函式圖象與性質
p2要點
四、求二次函式的最大（小）值的方法
如果自變數的取值範圍是全體實數，那麼函式在頂點處取得最大（或最小）值，即當時p3
【典型例題】
考點1.、二次函式的圖象與性質
例題1. 拋物線與y軸交於(0，3)點：
(1)求出m的值並畫出這條拋物線；
(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的座標；
(3)x取什麼值時，拋物線在x軸上方？
(4)x取什麼值時，y的值隨x值的增大而減小？
解： (1)由拋物線與y軸交於(0，3)可得m＝3．
∴ 拋物線解析式為，如圖所示．
(2)由得，．
拋物線與x軸的交點為(-1，0)、(3，0)．
拋物線的頂點座標為(1，4)．
(3)由圖象可知：當-1＜x＜3時，拋物線在x軸上方．
(4)由圖象可知：當x≥1時，y的值隨x值的增大而減小．p4
專家微博1：研究函式問題一般都應與圖象結合起來，借助於圖象的直觀性求解更形象與簡潔．
(1)將點(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然後用描點法或五點作圖法畫拋物線；
(2)令y＝0可求拋物線與x軸的交點，利用配方法或公式法可求拋物線頂點的座標；
(3)、(4)均可利用圖象回答，注意形數結合的思想，
跟蹤訓練1.
若二次函式（）的圖象如圖所示，則的值是 ．
【答案】-1.
型別二、二次函式的最值
例題2. 分別在下列範圍內求函式的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
解：∵ ∴ 頂點座標為(1，-4)．
p5 (1)∵ x＝1在0＜x＜2範圍內，且a＝1＞0，
∴ 當x＝1時y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2範圍的中點，在x＝1兩側圖象左右對稱，端點處取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3範圍內(如圖所示)，又因為函式(2≤x≤3)的圖象是
拋物線的一部分，且當2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴ 當x＝3時，；當x＝2時，．
專家微博2：先求出拋物線的頂點座標，然後看頂點的橫座標是否在所規定的自變數的取值範圍內，根據不同情況求解，也可畫出圖象，借助於圖象的直觀性求解，如圖所示，2≤x≤3為圖中實線部分，易看出x＝3時，；x＝2時，．
p6型別
三、二次函式性質的綜合應用
例題3．（2015黔西南州）（第9題）如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=4cm，bc=6cm，動點p從點c沿ca，以1cm/s的速度向點a運動，同時動點o從點c沿cb，以2cm/s的速度向點b運動，其中乙個動點到達終點時，另乙個動點也停止運動．則運動過程中所構成的△cpo的面積y（cm2）與運動時間x（s）之間的函式圖象大致是（ ）
a． b c． d．
解答： 解：∵運動時間x（s），則cp=x，co=2x；
∴s△cpo=cpco=x2x=x2．
∴則△cpo的面積y（cm2）與運動時間x（s）之間的函式關係式是：y=x2（0≤x≤3），
故選：c．
點評： 解決本題的關鍵是讀懂圖意，確定函式關係式．
p7跟蹤訓練3 某居民小區要在一塊一邊靠牆(牆長15m)的空地上修建乙個矩形花園abcd，花園的一邊靠牆，另三邊用總長為40m的柵欄圍成，如圖所示，若設花園的bc邊長為x(m)，花園的面積為y(m2)：
(1)求y與x之間的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍；
(2)根據(1)中求得的函式關係式，畫出函式圖象，並結合題意判斷當x取何值時，花園面積最大，最大面積為多少？
【答案與解析】
(1)∵ 花園的長bc＝x m，花園的三邊總長為40 m，則花園的寬為m，
∴ ．牆長15 m，∴ 0＜x≤15．
(2)根據題意畫圖(如圖所示)．由圖象可知，當x＝15時，花園面積最大，最大面積為187.5 m2．
p8專家微博3：首先根據題意，ab＝cd，ab+cd+bc＝40，由bc＝x可表示，再根據s＝長×寬建立函式關係式，求最大面積時要結合實際問題中自變數的取值範圍，利用二次函式性質求解．
特別提醒：畫二次函式圖象和求二次函式的最值問題，要根據實際問題中自變數的取值範圍解答，不能盲目認為頂點的縱座標就是函式的最值．
此題在畫圖象時，易畫成如圖所示的圖象，求最大面積時，易認為，
∴ 當x＝20時，．出現這種錯誤的原因在於沒有考慮實際問題中自變數的取值範圍．
p9型別四二次函式 a、b、c及b2-4ac的符號
例題4.（2015貴州省黔東南州,第10題）如圖，已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個結論：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結論有（ ）
a． 1個 b． 2個 c．3個 d． 4個
例題4.圖跟蹤練習4.圖
解答： 解：∵二次函式y=ax2+bx+c圖象經過原點，
∴c=0，∴abc=0 ∴①正確；
∵x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正確；
∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸是x=﹣，∴﹣，b＜0，
∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正確；
∵二次函式y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個交點，
∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正確；
綜上，可得正確結論有3個：①③④．故選：c． p10
跟蹤練習4. （2015遼寧省盤錦,第8題）如圖是二次函式y=ax2+bx+c=（a≠0）圖象的一部分，對稱軸是直線x=﹣2．關於下列結論：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的兩個根為x1=0，x2=﹣4，其中正確的結論有（ ）
a．①③④ b．②④⑤ c．①②⑤ d．②③⑤
解答： 解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵﹣=﹣2，
∴b=4a，ab＞0，∴①錯誤，④正確，
∵拋物線與x軸交於﹣4，0處兩點，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的兩個根為x1=0，x2=﹣4，
∴②⑤正確，∵當a=﹣3時y＞0，即9a﹣3b+c＞0，∴③錯誤，
故正確的有②④⑤．故選：b．
p11二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質—鞏固練習（提高）
一、選擇題
1. 定義為函式的特徵數，下面給出特徵數為的函式的一些結論：①當時，函式圖象的頂點座標是；②當時，函式圖象截x軸所得線段的長度大於；③當時，函式在時，y隨x的增大而減小；④當m≠0時，函式圖象經過同乙個點．
其中正確的結論有（ ）．
ab．①②④ c．①③④ d．②④
2．已知拋物線過點，，，四點，則與的大小關係是（ ）．
a． b． c． d．不能確定
3．小強從如圖所示的二次函式的圖象中，觀察得出了下面五條資訊你認為其中資訊正確的有（ ）．
a．2個 b．3個 c．4個 d．5個 p12
4．已知二次函式中，其函式y與自變數x之間的部分對應值如下表所示：
點a(x1，y1)，b(x2，y2)在函式的圖象上，則當1＜x1＜2，
3＜x2＜4時，y1與y2的大小關係正確的是( )
a．y1＞y2 b．y1＜y2 c．y1≥y2 d．y1≤y2
5．如圖所示，平面直角座標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關係正確的是( )
a．m＝n，k＞h b．m＝n，k＜h
c．m＞n，k＝h d．m＜n，k＝h
第5題第6題
p136．已知二次函式的圖象(0≤x≤3)如圖所示，關於該函式在自變數取值範圍內，下列說法正確的是( )
a．有最小值0，有最大值3 b．有最小值-1，有最大值0
c．有最小值-1，有最大值3 d．有最小值-1，無最大值
7．把拋物線的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得的圖象的解析式是，則a+b+c
8．如圖所示，是二次函式在平面直角座標系中的圖象．根據圖形判斷①c＞0；
②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④中正確的是________（填寫序號）．
初三二次函式
一 知識要點 二次函式的實際應用 二 例題講解 例1 某體育用品商店購進一批滑板，每件進價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件.商家決定降價 根據市場調查，每降價5元，每星期可多賣出20件.1 求商家降價前每星期的銷售利潤為多少元？2 降價後，商家要使每星期的銷售利潤最大，應將售價定為多少...
初三二次函式
定義 我們把形如y ax bx c 其中a,b,c是常數，a 0 的函式叫做二次函式，其中x是自變數，是二次項係數 是二次項，是一次項係數，是一次項，常數項.例如 的二次項係數 一次項係數和常數項是 例1寫出下列各函式關係，並判斷它們是什麼型別的函式 1 寫出正方體的表面積s cm2 與正方體稜長a...
初三二次函式練習
一 填空題 1.下列解析式中，哪些是二次函式式？1 23 4 5 6 2.只填題號 已知二次函式 1 其中開口向上的有 2 開口向下,且開口最大的是 3 當自變數由小到大變化時，函式值逐漸變大，然後逐漸變小的有 3.當是什麼值時，函式是關於的二次函式？4.已知乙個二次函式經過 0，1 2，7 1，4...