(直線與圓的方程)
本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分。
滿分150分。考試時間120分鐘。
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)
1．(08·全國ⅰ)設曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝
( )
a．2 b. c．－ d．－2
[答案] d
[解析] ∵點(3,2)在y＝上，
y′＝，y′|x＝3＝－，
直線ax＋y＋1＝0的斜率為－a，
∴(－a)×(－)＝－1，∴a＝－2.
2．若函式f(x)＝－eax的圖象在x＝0處的切線l與圓c：x2＋y2＝1相離，則點p(a，b)與圓c的位置關係是
a．p在圓c外b．p在圓c內
c．p在圓c上d．不能確定
[答案] b
[解析] 當x＝0時，y＝－，又f′(x)＝－·eax，k＝f′(0)＝－，所以切線l的方程為y＝－x－，
即ax＋by＋1＝0.
由》1得，a2＋b2<1，即點p在圓c內．
3．「a＝2」是「直線ax＋2y＝0平行於直線x＋y＝1」的
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
[答案] c
4．(文)如果直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通過第四象限，則直線l的斜率的取值範圍是
a．[0,1b.
cd．[0,2]
[答案] d
[解析] 由題意知l過圓心(1,2)，由圖知k∈[0,2]．
(理)若曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相異兩點p、q關於直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為
a．1b．－1cd．2
[答案] d
[解析] 由條件知直線kx＋2y－4＝0是線段pq的中垂線，∴直線過圓心(－1,3)，∴k＝2.
5．由直線y＝x－1上的一點向圓x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為
( )
a．1bcd．2
[答案] a
[解析] 圓c：(x－3)2＋y2＝1，
的圓心c(3,0)，半徑為1，p在直線x－y－1＝0上．
切線pq⊥cq(q為切點)，
則切線長|pq|＝＝.
|pc|的最小值為點c到直線x－y＋1＝0的距離＝.
所以|pq|min＝＝1.
6．過點p(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為a、b，o為座標原點，則△oab的外接圓方程是
a．(x－2)2＋(y－1)2＝5
b．(x－4)2＋(y－2)2＝20
c．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
d．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
[答案] a
[解析] 由條件知o、a、b、p四點共圓，從而op中點(2,1)為所求圓的圓心，半徑r＝|op|＝，故選a.
7．過點p作圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的切線，切點為m，若|pm|＝|po|(o為原點)，則|pm|的最小值是
abcd．1
[答案] a
[解析] 設點p座標為(x，y)，則由條件得|pm|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1＝|po|2＝x2＋y2，化簡為x－2y＋2＝0，從而|pm|的最小值即為|po|的最小值，也即o到直線x－2y＋2＝0的距離，故選a.
8．直線l與圓x2＋y2＝1相切，並且在兩座標軸上的截距之和等於，則直線l與兩座標軸所圍成的三角形的面積等於
abc．1或3d.或
[答案] a
[解析] 設直線l的方程為＋＝1，則滿足ab＝－3或1(捨去)，從而所圍成三角形的面積s＝|ab|＝，故選a.
9．如圖，在平面直角座標系中，ω是乙個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切於點c、d的定圓所圍成的區域(含邊界)，a、b、c、d是該圓的四等分點．若點p(x，y)、點p′(x′，y′)滿足x≤x′且y≥y′，則稱p優於p′.如果ω中的點q滿足：不存在ω中的其它點優於q，那麼所有這樣的點q組成的集合是劣弧
abcd.
[答案] d
[解析] 首先若點m是ω中位於直線ac右側的點，則過m，作與bd平行的直線交於一點n，則n優於m，從而點q必不在直線ac右側半圓內；其次，設e為直線ac左側或直線ac上任一點，過e作與ac平行的直線交於f.則f優於e，從而在ac左側半圓內及ac上(a除外)的所有點都不可能為q，故q點只能在上．
10．已知點p是拋物線y2＝4x上的點，設點p到拋物線的準線的距離為d1，到圓(x＋3)2＋(y－3)2＝1上一動點q的距離為d2，則d1＋d2的最小值是
a．3 b．4 c．5 d．3＋1
[答案] b
[解析] 由題意d1＝|pf|，d2＝|pq|，點p在拋物線上，∴d1＋d2＝|pf|＋|pq|，
故當p、f、q三點共線時取最小值，由圓外一點到圓上點距離最值在這點與圓心連線與圓的交點處取得．
∴最小值為|fq|＝|fc|－|cq|＝4.
11．(文)x2＋y2≤1是|x|＋|y|≤1成立的
a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
[答案] b
[解析] x2＋y2≤1表示⊙o內部及邊界的平面區域m，|x|＋|y|≤1表示正方形abcd內部及其邊界的平面區域n，顯然mn，∴選b.
(理)四稜錐p－abcd中，bc⊥平面pab，底面abcd為梯形，ad＝4，bc＝8，∠apd＝∠cpb，滿足上述條件的四稜錐的頂點p的軌跡是
( )
a．圓b．不完整的圓
c．拋物線
d．拋物線的一部分
[答案] b
[解析] 由題設知ad，bc都垂直於平面pab，又∠apd＝∠cpb，可得△adp∽△bcp，所以＝，則pb＝2pa，且p點在與ad垂直的平面內，∴其軌跡為不完整的圓，故選b.
12．當a為任意實數時，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恆過定點p，則過點p的拋物線的標準方程是
( )
a．y2＝－x或x2＝y
b．y2＝x或x2＝y
c．y2＝x或x2＝－y
d．y2＝－x或x2＝－y
[答案] a
[解析] 由(a－1)x－y＋2a＋1＝0得
a(x＋2)－(x＋y－1)＝0，
∴∴即點p(－2,3)．
設拋物線方程為x2＝p1y或y2＝p2x.
把點p的座標代入求得p1＝，p2＝－.故選a.
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．過點a(－2,0)的直線交圓x2＋y2＝1交於p、q兩點，則·的值為________．
[答案] 3
[解析] 設pq的中點為m，|om|＝d，則|pm|＝|qm|＝，|am
∴·＝||||cos04－d2)－(1－d2)＝3.
14．如圖所示，已知a(4,0)，b(0,4)，從點p(2,0)射出的光線經直線ab反射後再射到直線ob上，最後經直線ob反射後又回到p點，則光線所經過的路程是________．
[答案] 2
[解析] 點p關於直線ab的對稱點是(4,2)，關於直線ob的對稱點是(－2,0)，從而所求路程為＝2.
15．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直線2xcosα－2ysinα＋1＝0與圓(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，則向量a與b的夾角為________．
[答案] 60°
[解析] 根據題設知圓心到直線的距離為
d＝＝＝1，解得cos(α－β)＝或－(捨去)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝cos(α－β)＝，∴向量a與b的夾角為60°.故填60°.
16．直線l：y＝k(x－2)＋2與圓c：x2＋y2－2x－2y＝0有兩個不同的公共點，則k的取值範圍是________．
[答案] k∈r且k≠－1
[解析] ∵點a(2,2)在⊙c上，直線l恆過a點，圓心c(1,1)，kac＝1，∴k≠－1.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示乙個圓．
(1)求實數m的取值範圍；
(2)求該圓半徑r的取值範圍；
(3)求圓心的軌跡方程．
[解析] (1)∵方程表示圓，∴d2＋e2－4f＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＝4(－7m2＋6m＋1)>0，∴－ (2)r＝
＝≤，∴0(3)設圓心座標為(x，y)，則，
消去m得，y＝4(x－3)2－1.
∵－即軌跡為拋物線的一段，
即y＝4(x－3)2－1 .
18．(本小題滿分12分)已知平面區域被圓c及其內部所覆蓋．
(1)當圓c的面積最小時，求圓c的方程；
(2)若斜率為1的直線l與(1)中的圓c交於不同的兩點a、b，且滿足ca⊥cb，求直線l的方程．
[解析] (1)由題意知此平面區域表示的是以o(0,0)，p(4,0)，q(0,2)構成的三角形及其內部，且△opq是直角三角形，
∵覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓．
∴圓心是(2,1)，半徑是，
∴圓c的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)設直線l的方程是：y＝x＋b.
∵ca⊥cb，∴圓心c到直線l的距離是，
即＝.解之得，b＝－1±.
∴直線l的方程是：y＝x－1±.
19．(本小題滿分12分)(文)設直線l的方程為(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈r)．
(1)若直線l在兩座標軸上的截距相等，求直線l的方程；
(2)若a>－1，直線l與x、y軸分別交於m、n兩點，求△omn面積取最大值時，直線l的方程．
[解析] (1)當直線l經過座標原點時，該直線在兩座標軸上的截距都為0，此時2＋a＝0，解得a＝－2，此時直線l的方程為x－y＝0；
當直線l不經過座標原點，即a≠－2時，由直線在兩座標軸上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此時直線l的方程為x＋y－2＝0.
所以，直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0.
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