引言這一章是向量代數與空間解析幾何，上一節我們學了向量代數部分，介紹向量的概念及向量的某些運算，今天開始學習空間解析幾何部分。
空間解析幾何的產生是數學史上乙個劃時代的成就. 法國數學家笛卡爾和費馬均於十七世紀上半葉對此作出了開創性的工作. 我們知道，代數學的優越性在於推理方法的程式化，鑑於這種優越性，人們產生了用代數方法研究幾何問題的思想，這就是解析幾何的基本思想.
要用代數方法研究幾何問題，就必須溝通代數與幾何的聯絡，而代數和幾何中最基本的概念分別是數和點. 於是首先要找到一種特定的數學結構，來建立數與點的聯絡，這種結構就是座標系. 通過座標系，建立起數與點的一一對應關係，就可以把數學研究的兩個基本物件數和形結合起來、統一起來，使得人們既可以用代數方法研究解決幾何問題（這是解析幾何的基本內容），也可以用幾何方法解決代數問題.
本章中我們先介紹向量的概念及向量的某些運算，然後再介紹空間解析幾何，其主要內容包括平面和直線方程、一些常用的空間曲線和曲面的方程以及關於它們的某些基本問題. 這些方程的建立和問題的解決是以向量作為工具的. 正像平面解析幾何的知識對學習一元函式微積分是不可缺少的一樣，本章的內容對以後學習多元函式的微分學和積分學將起到重要的作用.
以前我們在學習過程中介紹過幾位數學家，牛頓，費馬，萊布尼茨，今天我想向大家介紹一位被被認為是解析幾何之父的人——笛卡爾。請看螢幕介紹。
第一節空間直角座標系
本節將建立空間的點及向量與有序陣列的對應關係，引進研究向量的代數方法，從而建立代數方法與幾何直觀的聯絡.
一、空間直角座標系的建立
在空間取定乙個點o和三個兩兩垂直的單位向量,就確定了三條都以o為原點的兩兩垂直的數軸，依次記為,都稱為座標軸，它們組成乙個空間直角座標系，如圖
稱為oxyz座標系（或[o;i,j,k]）
習慣上建立空間直角座標時取右手系，即x,y,z三條軸的方向符合右手規則即右手握住 z軸，即以右手握住軸，當右手的四個手指從正向軸以角度轉向正向軸時，大拇指的指向就是軸的正向.
三條座標軸中的任意兩條可以確定乙個平面，這樣定出的三個平面統稱為座標面。x軸及y軸所確定的座標麵叫xoy面，另兩個由y軸和z軸及軸z和x軸所確定的座標面分別叫yoz面及zox面.三個座標面把空間分成八個部分，每一部分叫做卦限，由x軸、y軸與z軸正半軸確定的那個卦限叫做第一卦限，其它第
二、第三、第四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向確定，第五至第八卦限在xoy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆時針方向確定。八個卦限分別用字母（羅馬數字vi、vii、viii表示。如圖
任給向量r，對應有點m使，以om為對角線，三條座標軸為稜作出長方體rhmk-opnq ,如圖
（看圖說下面三行）
**到下一屏）
這樣，給定向量r，就確定了點三個向量，進而確定了x、y、z三個有序數；反之，給定三個有序數x、y、z，也就確定了向量r和點m.於是點m、向量r與三個有序數x、y、z之間有一一對應關係
據此定義：
向徑：空間直角座標系中任一點 m與原點構成的向量
乙個點與該點的向徑有相同的座標。記號既表示點m又表示向量。
座標軸和座標面上的點的座標有特徵：
例如，如果點m在yoz面上，則x=0;
同樣，在zox面上的點，y=0; 在xoy面上的點，z=0.
如果點m在x軸上,則y=z=0,
同樣，在y軸上的點，有z=x=0,
在z軸上的點，有x=y=0.如點m為原點，則x=y=z=0.
思考題在空間直角座標系中，指出下列各點在哪個卦限？
練習題 在空間直角座標系中點關於原點的對稱點是( 1，-3，2 ).
向徑：空間直角座標系中任一點m與原點構成的向量
乙個點與該點的向徑有相同的座標。
記號既表示點m又表示向量
二空間兩點的距離
空間兩點的距離公式
點a與b的距離， 就是向量的模。
三、利用座標作向量的線性運算
若，則，
1 定理：設向量，則向量平行於的充要條件是存在唯一的，使。
座標表示為式即相當於對應的座標成比例。
向量的加減法、向量與數的乘法運算的座標表示式
四、向量的方向角與方向余弦的座標表示式
非零向量的方向角
非零向量與三條座標軸的正向的夾角稱為方向角
向量的方向余弦
方向余弦通常用來表示向量的方向
向量模長的座標表示式
向量方向余弦的座標表示式
方向余弦的特徵
特殊地：單位向量的方向余弦為
五、向量在軸上的投影與投影定理
空間兩向量的夾角的概念
空間一點在軸上的投影
空間一向量在軸上的投影
關於向量的投影定理（1）
向量的投影與向量的座標兩個概念不加區分。
關於向量的投影定理（2）
兩個向量的和在軸上的投影等於兩個向量在該軸上的投影之和.
六、小結
§1、空間直角座標系
1、空間點的座標
①座標系 ②點的座標
2、空間兩點間距離
空間兩點的距離
§2、向量及其加、減與數乘運算
1、向量
既有大小又有方向的量稱為向量
1 模——向量的大小
2 單位向量——模為1的向量
3 零向量——模為零的向量（方向任意）
4 向量的相等——模相等、方向相同的向量
5 向量的平行——方向相同或相反的向量
2、向量的加減法
1 加減法的平行四邊形法則與三角形法則
2 加減法的運算法則
3、向量與數的乘法
2 設為向量，為實數，則也是乙個向量，其模，當的方向與相同（反）。
3 數乘的運算法則
4 定理：設向量，則向量平行於的充要條件是存在唯一的，使。
5 若，則為與平行的單位向量。
§3、向量的座標
1、向量在軸上的投影
1 如圖，稱為向量的夾角，記為，其中。
2 向量在軸上的投影
稱為點在軸上的投影稱有向線段的值為向量在上
的投影，記為
（投影）定理：
2、向量在座標軸上的分量與向量的座標
如圖，其中分別為軸正向上的單位向量。
稱為在上的分量，稱為在上的投影，也稱為向量的座標。
也可記為。
若，則，
3、向量的模與方向余弦
如圖，正向的夾角稱為的方向角，
顯然，①② ——方向余弦
③④與平行的單位向量
例1、已知空間兩點，求的模、方向余弦，並求與平行的單位向量。
解：，與平行的單位向量為
§4、向量的數量積與向量積
一、數量積（點乘）
1、定義：若向量的夾角為，則稱為與的數量積，記為，即=。
①證：②若證： =
2、運算法則
1 交換律
2 分配律
3 結合律
3、數量積的座標表示
設，則證： 注意到故①
②例1、設。
解： ,
例2、設，問關係如何，才能使與軸垂直。
解：與軸垂直，即，
而，故，
即時，與軸垂直。
二、向量積（叉乘）
1、定義：對向量，若向量滿足
①的模，之間夾角；
②的方向垂直於所決定的平面，且的指向滿足右手法則；
則稱為的向量積，記為，即。
①證：，故
②若證：
2、運算法則
①反交換律
②分配律
③結合律
3、向量積的座標表示
設，則記為
證： 注意到
故注：，即對應座標成比例。如某分母為零，則認為該分子也為零。
例3、設，求與皆垂直的單位向量。
解： 故所求為
例4、，是否與平行。
解： ，故與平行。
例5、已知空間三點的面積。
解： ，， 故
§5、曲面與二次曲面
1、曲面方程 （不超過三個變數的方程）
稱為曲面方程，若為二次，則稱之不二次曲面方程。
例如，表示二次曲面中的球面。
2、旋轉曲面（中至少兩個係數相同）
1 一平面直線繞其平面上的一條直線旋轉一周而成的曲面稱為旋轉曲面。
2 面上的曲線繞而成的旋轉曲面方程為，
面上的曲線繞而成的旋轉曲面方程為。
例1、圓錐面。
解：在麵內，的方程為，
繞軸旋轉而成的旋轉曲面方程為
，記為——圓錐面
例2、旋轉拋物面。
解：在麵內，的方程為，
繞軸旋轉而成的旋轉曲面方程為
——旋轉拋物面
3、柱面（缺項）
引例：方程在二維平面和三維空間內各表示什麼幾何圖形？
解： 1 平行於定直線並沿定曲線移動的直線的軌跡稱為柱面，定曲線稱為準線，動直線稱為母線。
2 分別表示母線平行於軸的柱面。
例3、拋物柱面
例4、雙曲柱面
§6、空間曲線及其方程
1、空間曲線的一般方程——將曲線看成兩曲面的交線
方程組稱為空間曲線的一般方程，如
2、空間曲線的引數方程——將曲線看成動點的軌跡
方程組稱為空間曲線的引數方程，如
3、空間曲線在座標面上的投影
設空間曲線的方程為，
消去得——以曲線為準線且母線平行於軸的柱面
稱為曲線關於面的投影柱面。
投影柱面與面的交線稱為曲線在面上的投影（曲線），
顯然，投影曲線方程為
例1、求兩球面，的交線在面上的投影。
解：交線方程為
消去得——橢圓柱面
故投影方程為——橢圓
例2、求由球面和錐面所圍成的立體在面上的投影。
解：交線的方程為
消去得——圓柱面
故交線在面上的投影（曲線）方程為——圓
從而該立體在面上的投影為——圓域
§7、平面及其方程
一、平面的點法式方程
1、若非零向量垂直於平面，則稱為的法向量。
2、若平面過點，其法向量，則的方程為
證：設為內任一點，
因為是的法向量，故
又故——平面的點法式方程
例1、求過點且平行於平面的平面方程。
解：平面的法向量為，
因所求平面與上平面平行，即其法向量也可取為，
故所求平面方程為
例2、求過三點的平面方程。
解：由法向量及向量的向量積定義知，平面的法向量可選為，
故平面方程為
二、平面的一般方程
1、三元一次方程稱為平面的一般方程。
2、一些特殊平面
① 過原點
② 平行於軸
平行於軸
平行於軸
③ 平行於面或垂直於軸
平行於面或垂直於軸
平行於面或垂直於軸
例3、若平面與軸分別交於三點，則的方
程為。證：設平面方程為
則代入得——截距式，稱為平面在軸上的截距。
或：，故平面方程為，即。
例4、求過軸與點的平面方程。
解：平面過軸，故可設其方程為
又平面過，有，得平面方程為
例5、平面在軸上的截距為，且與平行，求平面方程。
解：設平面方程為，
依題意其法向量垂直，即
故平面方程為
三、兩平面的夾角
1、兩平面法向量的夾角稱為兩平面的夾角。
2、設有兩平面，，則兩者夾角
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