北京市西城區2015 — 2016學年度第二學期期末試卷
高二數學2016.7
（文科）
試卷滿分：150分考試時間：120分鐘
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.
4．函式的圖象大致是
（abcd）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.
9．已知命題：「，」，那麼命題為 ．
10．函式，則 ．
11．已知函式．若正數滿足，則 ．
12．某小鎮計畫植樹不少於棵．假設第一天植樹棵，以後每天植樹的數目是前一天
的倍，則需要植樹的天數的最小值是
13．已知是定義在上的奇函式，且對任意，都有，則
注：）14．研究函式的性質，完成下面兩個問題：
① 將，，按從小到大排列為 ；
② 函式的最大值為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分13分）
已知等差數列的前項為，，．
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）若，求的值．
16．（本小題滿分13分）
已知函式．
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若函式在區間上的最小值為，求的取值範圍．
17．（本小題滿分13分）
已知函式，其中為常數．曲線在點處的切線方程是．
（ⅰ）確定的解析式；
（ⅱ）求的取值範圍．
18．（本小題滿分13分）
已知數列的前項和滿足．
（ⅰ）證明：是等比數列；
（ⅱ）證明：對於任意正整數，都有．
19．（本小題滿分14分）
已知函式，其中.
（ⅰ）若在處取得最小值，求和的值；
（ⅱ）設是任意正數，證明：．
20．（本小題滿分14分）
已知函式，，其中．經過座標原點分別作曲線和的切線，，兩條切線的斜率依次為，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如果，證明：．
北京市西城區2015 — 2016學年度第二學期期末試卷
高二數學（文科）參***及評分標準 2016.7
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.
1．b 2．c 3．d 4．b 5．d 6．c 7．c 8．a
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
91011．
121314．；
注：一題兩空的試題，第一空3分，第二空2分；
三、解答題：本大題共6小題，共80分.
15．（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）設等差數列的公差是，
依題意，得4分
解得6分
所以數列的通項公式為8分
（ⅱ）由， 得10分
令， 即11分
解得，或13分
16．（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）的定義域是，且2分
令，得4分
與在上的情況如下：
所以的單調遞增區間為和；單調遞減區間為．
…… 7分
（ⅱ）由及（ⅰ）中結論可知：
當時，函式在區間上的最小值為9分
當時，函式在區間上的最小值大於11分
因此，的取值範圍是13分
17．（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）的定義域是，且2分
根據導數的幾何意義，得，所以3分
由切點在直線上，
得，即4分
由 ①，② 解得5分
所以6分
（ⅱ）當時，，當且僅當，即時等號成立
所以9分
當時，因為，
所以，當且僅當，即時等號成立
所以12分
綜上，的取值範圍是
18．（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）因為，
所以當時，有2分
上述兩式相減，得4分
即當時5分
又時，，．
所以是首項為，公比為的等比數列7分
（ⅱ）由（ⅰ）得，
所以9分
因為對於任意正整數，都有，且成立， …11分
所以對於任意正整數，都有，且成立13分
綜上．19.（本小題滿分14分）
解：（ⅰ）的定義域是，且2分
令，得3分
與在上的情況如下：
所以在區間內單調遞減，在內單調遞增5分
所以有唯一的極小值點，的最小值為．
依題意，
所以7分
（ⅱ）因為
10分12分
所以14分
20.（本小題滿分14分）
解：（ⅰ）設直線與曲線相切於點1分
則的方程為2分
因為直線經過座標原點，
所以.解得3分
所以4分
（ⅱ）依題意得，則直線的方程為．
設直線與曲線相切於點，
則有5分
6分，即7分
聯立 ①，②，③，消去，整理得8分
令， 則9分
所以，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增． ……10分
若，則由在區間上單調遞增，且，得，
所以，這與題設相矛盾11分
若，則由，，得．
……13分
因為在上單調遞減，
所以14分
高二文科數學
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