1、（2013杭州）已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交於點a，b（點a，b在原點o兩側），與y軸相交於點c，且點a，c在一次函式y2=x+n的圖象上，線段ab長為16，線段oc長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變數x的取值範圍．
考點：二次函式的性質；拋物線與x軸的交點．
專題：分類討論．
分析：根據oc的長度確定出n的值為8或﹣8，然後分①n=8時求出點a的座標，然後確定拋物線開口方向向下並求出點b的座標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然後根據二次函式的增減性求出x的取值範圍；②n=﹣8時求出點a的座標，然後確定拋物線開口方向向上並求出點b的座標，再求出拋物線的對稱軸解析式，然後根據二次函式的增減性求出x的取值範圍．
解答：解：根據oc長為8可得一次函式中的n的值為8或﹣8．
分類討論：①n=8時，易得a（﹣6，0）如圖1，
∵拋物線經過點a、c，且與x軸交點a、b在原點的兩側，
∴拋物線開口向下，則a＜0，
∵ab=16，且a（﹣6，0），
∴b（10，0），而a、b關於對稱軸對稱，
∴對稱軸直線x==2，
要使y1隨著x的增大而減小，則a＜0，
∴x＞2；
（2）n=﹣8時，易得a（6，0），如圖2，
∵拋物線過a、c兩點，且與x軸交點a，b在原點兩側，
∴拋物線開口向上，則a＞0，
∵ab=16，且a（6，0），
∴b（﹣10，0），而a、b關於對稱軸對稱，
∴對稱軸直線x==﹣2，
要使y1隨著x的增大而減小，且a＞0，
∴x＜﹣2．
點評：本題考查了二次函式的性質，主要利用了一次函式圖象上的點的座標特徵，二次函式的增減性，難點在於要分情況討論．
2、(2023年南京)已知二次函式y=a(xm)2a(xm) (a、m為常數，且a0)。
(1) 求證：不論a與m為何值，該函式的影象與x軸總有兩個公共點；
(2) 設該函式的影象的頂點為c，與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點d。
當△abc的面積等於1時，求a的值：
當△abc的面積與△abd的面積相等時，求m的值。
解析： (1) 證明：y=a(xm)2a(xm)=ax2(2ama)xam2am。
因為當a0時，[(2ama)]24a(am2am)=a2>0。
所以，方程ax2(2ama)xam2am=0有兩個不相等的實數根。
所以，不論a與m為何值，該函式的影象與x軸總有兩個公共點。(3分)
(2) 解： y=a(xm)2a(xm)=(x)2，
所以，點c的座標為(,)。
當y=0時，a(xm)2a(xm)=0。解得x1=m，x2=m1。所以ab=1。
當△abc的面積等於1時， 1| |=1。
所以1( )=1，或1=1。
所以a= 8，或a=8。
當x=0時，y=am2am，所以點d的座標為(0, am2am)。
當△abc的面積與△abd的面積相等時，
1| |= 1| am2am |。
所以1( )= 1(am2am)，或1 = 1(am2am)。
所以m= ，或m=，或m=。 (9分)
3、（2013涼山州）先閱讀以下材料，然後解答問題：材料：將二次函式y=﹣x2+2x+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，求平移後的拋物線的解析式（平移後拋物線的形狀不變）．
解：在拋物線y=﹣x2+2x+3圖象上任取兩點a（0，3）、b（1，4），由題意知：點a向左平移1個單位得到a′（﹣1，3），再向下平移2個單位得到a″（﹣1，1）；點b向左平移1個單位得到b′（0，4），再向下平移2個單位得到b″（0，2）．
設平移後的拋物線的解析式為y=﹣x2+bx+c．則點a″（﹣1，1），b″（0，2）在拋物線上．可得：，解得：．所以平移後的拋物線的解析式為：y=﹣x2+2．
根據以上資訊解答下列問題：將直線y=2x﹣3向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求平移後的直線的解析式．
考點：二次函式圖象與幾何變換；一次函式圖象與幾何變換．
專題：閱讀型．
分析：根據上面例題可在直線y=2x﹣3上任取兩點a（0，﹣3），由題意算出a向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到a′點座標，再設平移後的解析式為y=2x+b，再把a′點座標代入解析式即可．
解答：解：在直線y=2x﹣3上任取兩點a（0，﹣3），由題意知a向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到a′（3，﹣2），
設平移後的解析式為y=2x+b，
則a′（3，﹣2）在y=2x+b的解析式上，
﹣2=2×3+b，
解得：b=﹣8，
所以平移後的直線的解析式為y=2x﹣8．
點評：此題主要考查了一次函式圖象的幾何變換，關鍵是掌握一次函式圖象平移後k值不變．
1，（2013資陽）在關於x，y的二元一次方程組中．
（1）若a=3．求方程組的解；
（2）若s=a（3x+y），當a為何值時，s有最值．
2、（2013溫州）如圖，拋物線y=a（x﹣1）2+4與x軸交於點a，b，與y軸交於點c，過點c作cd∥x軸交拋物線的對稱軸於點d，連線bd，已知點a的座標為（﹣1，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求梯形cobd的面積．
3、 (2013浙江麗水)如圖，已知拋物線與直線交於點o（0，0），a（，12），點b是拋物線上o，a之間的乙個動點，過點b分別作軸、軸的平行線與直線oa交於點c，e。
（1）求拋物線的函式解析式；
（2）若點c為oa的中點，求bc的長；
（3）以bc，be為邊構造矩形bcde，設點d的座標為（，），求出，之間的關係式。
4、（2013牡丹江）如圖，已知二次函式y=x2+bx+c過點a（1，0），c（0，﹣3）
（1）求此二次函式的解析式；
（2）在拋物線上存在一點p使△abp的面積為10，請直接寫出點p的座標．
8、（2013湖州）已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點a（3，0），b（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的頂點座標．
9、（2013寧夏）如圖，拋物線與x軸交於a、b兩點，與y軸交c點，點a的座標為（2，0），點c的座標為（0，3）它的對稱軸是直線x=
（1）求拋物線的解析式；
（2）m是線段ab上的任意一點，當△mbc為等腰三角形時，求m點的座標．
10、（13年安徽省8分、16）已知二次函式影象的頂點座標為（1，—1），且經過原點（0，0），求該函式的解析式。
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