第一講：有理數概論
要點一、正數與負數
像+3、+1.5、、+584等大於0的數，叫做正數； 像－3、－1.5、、－584等在正數前面加「－」號的數，叫做負數．
要點詮釋：
（1）乙個數前面的「+」「-」是這個數的性質符號， 「+」常省略，但 「-」不能省略.
（2）用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種為正可任意選擇，但習慣把「前進、上公升」等規定為正，而把「後退、下降」等規定為負．
（3）0既不是正數也不是負數，它是正數和負數的分界線．
要點二、有理數的分類
（1）按整數、分數的關係分類： （2）按正數、負數與0的關係分類：
要點詮釋：
（1）有理數都可以寫成分數的形式，整數也可以看作是分母為1的數.
（2）分數與有限小數、無限迴圈小數可以互化，所以有限小數和無限迴圈小數可看作分數，但無限不迴圈小數不是分數，例如．
（3）正數和零統稱為非負數；負數和零統稱為非正數；正整數、0、負整數統稱整數．
要點三、數軸
1.定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.
要點詮釋：
（1）原點、正方向和單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可.
（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據需要選取的代表「1」的線段，而長度單位是為度量線段的長度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．
（3）原點、正方向、單位長度可以根據實際靈活選定，但一經選定就不能改動．
2. 數軸與有理數的關係：任何乙個有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都表示有理數，還可以表示其他數，比如.
要點詮釋：
（1）一般地，數軸上原點右邊的點表示正數，左邊的點表示負數；反過來也對，即正數用數軸上原點右邊的點表示，負數用原點左邊的點表示，零用原點表示.
（2）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.
要點四、相反數
1.定義：只有符號不同的兩個數互為相反數；0的相反數是0.
要點詮釋：
（1）「只」字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.
（2）「0的相反數是0」是相反數定義的一部分，不能漏掉.
（3）相反數是成對出現的，單獨乙個數不能說是相反數.
（4）求乙個數的相反數，只要在它的前面添上「-」號即可.
2.性質：
（1）互為相反數的兩數的點分別位於原點的兩旁，且與原點的距離相等（這兩個點關於原點對稱）.
（2）互為相反數的兩數和為0.
要點五、多重符號的化簡
多重符號的化簡，由數字前面「-」號的個數來確定，若有偶數個時，化簡結果為正，如-=4 ；若有奇數個時，化簡結果為負，如-=-4 .
要點詮釋：
（1）在乙個數的前面添上乙個「＋」，仍然與原數相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
（2）在乙個數的前面添上乙個「－」，就成為原數的相反數.如－（－3）就是－3的相反數，因此，－（－3）＝3.
要點六、絕對值
1．定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.
要點詮釋：
（1）絕對值的代數意義：乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．即對於任何有理數a都有：
（2）絕對值的幾何意義：乙個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小．
（3）乙個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的．
2．性質：
（1）0除外，絕對值為一正數的數有兩個，它們互為相反數．
（2）互為相反數的兩個數的絕對值相等.
（3）絕對值具有非負性，即任何乙個數的絕對值總是正數或0．
要點七、有理數的大小比較
1．數軸法：在數軸上表示出兩個有理數，左邊的數總比右邊的數小． 如：a與b在數軸上的位置如圖所示，則a＜b．
2．法則比較法：
兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下：
要點詮釋：
利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟：（1）分別計算兩數的絕對值；（2）比較絕對值的大小；（3）判定兩數的大小．
3． 作差法：設a、b為任意數，若a-b＞0，則a＞b；若a-b＝0，則a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：設a、b為任意正數，若，則；若，則；若，則；反之也成立．若a、b為任意負數，則與上述結論相反．
5． 倒數比較法：如果兩個數都大於零，那麼倒數大的反而小．
要點八、有理數的運算
1 ．法則：
（1）加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值．③乙個數同0相加，仍得這個數．
（2）減法法則：減去乙個數，等於加這個數的相反數．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘．②任何數同0相乘，都得0．
（4）除法法則：除以乙個不等於0的數，等於乘這個數的倒數．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；②正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0．
(6)有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最後加減；②同級運算，從左到右進行；
③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．
要點詮釋：「奇負偶正」口訣的應用：
（1）多重負號的化簡，這裡奇偶指的是「－」號的個數，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理數乘法，當多個非零因數相乘時，這裡奇偶指的是負因數的個數，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理數乘方，這裡奇偶指的是指數，當底數為負數時，指數為奇數，則冪為負；指數為偶數，則冪為正，例如： ， ．
2．運算律：
（1）交換律: ① 加法交換律:a+b=b+a； ②乘法交換律:ab=ba；
（2）結合律: ①加法結合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法結合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要點九、科學記數法、近似數及精確度
1.科學記數法：把乙個大於10的數表示成的形式（其中，是正整數），此種記法叫做科學記數法．例如：200 000=．
2.近似數：接近準確數而不等於準確數的數，叫做這個精確數的近似數或近似值.如長江的長約為6300㎞，這裡的6300㎞就是近似數.
要點詮釋：一般採用四捨五入法取近似數，只要看要保留位數的下一位是舍還是入.
3.精確度：乙個近似數四捨五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數的精確度.
要點詮釋：
（1）精確度是指近似數與準確數的接近程度.
（2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個有效數字．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到公尺，說明結果與實際數相差不超過公尺，而有效數字往往用來比較幾個近似數哪個更精確些.
型別一、有理數相關概念
1．若乙個有理數的：(1)相反數；（2）倒數；(3)絕對值；(4)平方；(5)立方，等於它本身．則這個數分別為(12345
舉一反三：
【變式】(1)的倒數是 ；的相反數是 ；的絕對值是 .
-（-8）的相反數是 ；的相反數的倒數是_____.
(2)某種食用油的**隨著市場經濟的變化漲落，規定**記為正，則-5.8元的意義是如果這種油的原價是76元，那麼現在的賣價是
(3) 上海浦東磁懸浮鐵路全長30km，單程執行時間約為8min,那麼磁懸浮列車的平均速度用科學記數法表示約為m／min.
(4) 若a、b互為相反數，c、d互為倒數，則
(5) 近似數0.4062精確到位，近似數 5.47×105精確到位，近似數3.5萬精確到位， 3.4030×105精確到千位是
2．（2015春射洪縣月考）如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值．
3．在下列兩數之間填上適當的不等號：
舉一反三：
【變式】比較大小：(1)________0.001； (20.68
型別二、有理數的運算
4．（2016廈門）計算：．
舉一反三：
【變式】（2014秋埇橋區校級期中）﹣33×（﹣5）+16÷（﹣2）3﹣|﹣4×5|+（﹣0.625）
型別三、數學思想在本章中的應用
5．（1）數形結合思想：有理數a在數軸上對應的點如圖所示，則a，-a，1的大小關係．
a．-a＜a＜1 b．1＜-a＜a c．1＜-a＜a d．a＜1＜-a
（2）分類討論思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．
（3）轉化思想：計算：
舉一反三：
【變式】若a是有理數，|a|-a能不能是負數?為什麼?
型別四、規律探索
6．將1，，，，，，…，按一定規律排列如下：
請你寫出第20行從左至右第10個數是________．
【課堂練習】
一、選擇題
1．計算106×(102)3÷104之值為（ ）．
a．108 b．109 c．1010 d．1012
2．（2015永州）在數軸上表示數﹣1和2014的兩點分別為a和b，則a和b兩點間的距離為（ ）
a．2013 b． 2014 c． 2015 d． 2016
3．下列語句中，正確的個數是（ ）.
①乙個數與它的相反數的商為-1；②兩個有理數之和大於其中任意乙個加數；
③若兩數之和為正數，則這兩個數一定都是正數；④若，則.
a．0 b．1 c．2 d．3
4．已知|，，，則的值是（ ）.
a．-7 b．-3 c．-7或-3 d．±7或±3
5．將一刻度尺如圖所示放在數軸上（數軸的單位長度是1cm），刻度尺上的「0cm」、「15cm」分別對應數軸上的，則（ ）．
才有理數有理數零正有理數有理數零負有理數
第二章才有理數 一 有理數的意義 2 1 正數和負數 一 知識點 1 像5 8 2.4 等大於0的數叫正數。像 1 5.2 7 等在正數前面加上 號的數叫負數。2 0既不是正數，也不是負數。3正整數 整數 0 負整數 有理數零 正分數分數 負分數正整數 正有理數 正分數有理數零 負整數負有理數 負分...
有理數小結
第一單元 有理數小結 一 正數和負數 1 大於0的數叫做正數，小於0的數叫做負數。2 0既不是正數也不是負數，它是正數和負數的分界。3 正數前面的正號可以省略，負數前面的負號不能省略。4 在同乙個問題中，分別用正數與負數表示具有相反意義的量。二 有理數 1 有理數的定義 正數可以看作分母為1的分數，...
有理數小結
七年級數學學案 課題 有理數複習小結課時 1 時間 學習目標 1.熟練掌握有關有理數的基本概念。2.靈活掌握相關計算 3.會解決實際問題。一 基礎知識回顧 1。0既不是 也不是 2。正整數 0 負整數統稱為 正分數 負分數統稱為 統稱為有理數 3。數軸的三個要素是 4。一般地，a和 互為相反數，特別...