數列的應用
(時間：90分鐘滿分：100分)
題型示例
某廠試製新產品，為生產此項產品需增加某些裝置，購置這些裝置需一次付款25萬元，若租用這些裝置每年初需付租金3.3萬元，若一年期存款的年利率為9.8％，試討論哪種方案的收益更大(裝置壽命為10年).
解從10年後的價值考慮，購置裝置的25萬元，10年後的價值為：m1=25(1+9.8％)10≈63.674(萬元)，每年初付租金3.3萬元的10年後的總價值為：
m2=3.3×(1+9.8％)10+3.3×(1+9.8％)9+…+3.3×(1+9.8％)=3.3×1.098×≈57.197(萬元).
即租用裝置方案的收益更大.
點評優化方案的問題，即為獲得利潤最大的方式.
一、選擇題(8×3′＝24′)
1．農民收入由工資性收入和其他收入兩部分構成.2023年某地區農民人均收入3 150元(其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元)，預計該地區自2023年起的5年內，農民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元，根據以上資料，2023年該地區農民人均收入介於
a.4200元~4400元b.4400元~4600元
c.4600元~4800元d.4800元~5000元
2．已知數列1，1，2，…它的每一項由乙個等比數列和乙個首項為0的等差數列對應項相加而得，那麼這個數列的前10項和為
a.467 b.557 c.978 d.1068
3．凸多邊形各內角度數成等差數列，最小角為120°，公差為5°，則邊數n等於 ( )
a.16 b.9 c.16或9 d.12
4．首項是2，公比是3的等比數列，從第n項到第n項的和為720，則n,n的值分別是( )
>6 >6
5．已知等差數列｛an｝的各項均為正數，公差d≠0，設p=，則p與q的大小關係是
>q 6．乙個機器貓每秒前進或後退一步，程式設計人員讓機器貓以每前進3步，然後再後退2步的規律移動；如果將此機器貓放在數軸的原點上，面向正的方向，以1步的距離為1個單位長，令p(n)表示第n s時機器貓所在的位置的座標，且p(0)=0,那麼下列結論中錯誤的是
7．已知｛an｝是首項為50，公差為2的等差數列，｛bn｝是首項為10，公差為4的等差數列.設以ak，bk為相鄰兩邊的矩形內最大圓的面積為sk，若k≤21，那麼sk等於 ( )
a.π(2k+1)2 b.π(k+12)2 c.π(2k+3)2 d.π(k+24)2
8．乙個正數組成的等比數列前7項之和是2，其後14項之和是12，則再後面21項之和
是a.110 b.108 c.104 d.112
二、填空題(4×4′＝16′)
9．若a、b、c成等差數列，則直線ax+by+c=0，必過點
10．已知f(x)為一次函式，若f(3)=15,且f(2)、f(5)、f(14)成等比數列，則f(1)+f(2)+…
+f(n
11．大樓共n層(n為奇數)，現每層指定一人，共n人集中到第k層開會，要使n位參會
人員上、下樓梯所走路程總和最短(假定相鄰兩層樓梯長相等，為a)，則k
12．有一堆物品，某層放n2個，而它的上一層比它少放(2n-1)個(n≥2),已知這堆物品底層放100個，頂層放16個，這堆物品共有個.
三、解答題(3×12′＝36′)
13．如圖，△obc的三個頂點座標分別為(0,0)、(1，0)、(0，2)，
設p1為線段bc的中點，p2為線段co的中點，p3為線段op1的
中點，對於每乙個正整數n,pn+3為線段pnpn+1的中點，令pn的坐
標為(xn,yn)，an=yn+yn+1+yn+2.
(1)求a1,a2,a3及an;
(2)證明yn+4=1-,n∈n*;
(3)若記bn=y4n+4-y4n,n∈n*,證明是等比數列.
14．某企業2023年的純利潤為500萬元，因裝置老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不進行技術改造，**從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元.今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，**在未扣除技術改造資金的情況下，第n年(今
年為第一年)的利潤為500（1+）萬元(n為正整數).
(1)設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為an萬元，進行技術改造後的累計純利潤為bn萬元(須扣除技術改造資金)，求an,bn的表示式;
(2)依上述**，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
15．△abc中，內角a、b、c成等比數列，且b2-a2=ac，求a、b、c.
四、思考與討論(2×12′＝24′)
16．設a>0，a≠1，f(x)=loga(x+)(x≥1)．
(1)求f(x)的反函式f-1(x)及其定義域；
(2)設bn=f-1(n),sn=b1+b2+…+bn,試求證當|log2a|<1時，對於n∈n*，有sn＜2n-()n.
17．試判斷，能否構造乙個實數等比數列,使其滿足下列三個條件:①a1+a6=11;②a3·a4=;③至少存在乙個自然數m,使am-1,a,am+1+依次成等差數列.若能，請寫出這個數列的通項公式；若不能，請說明理由.
參***
1．b 設從2023年起第n年的收入為y,則有y=1800(1+6%)n-1+［1350+(n-1)·160］
2023年為當n=1時，則2023年為n=6,故2023年農民收入1800（1+6%）5+（1350+5×160）∈(4400,4600).
2．c 等差數列:a1=0，d=-1，∴s10=-45，等比數列:b1=1，q=2,∴s′10=1023.
3．b 凸多邊形內角和為(n-2)·180°，最大內角小於180°.
4．c sn-sn-1=3n-3n-1=720，再用代入法驗證.
5．a ∵d≠0,∴a5≠a7，∴
6．d 先列出數列p(n)的前n項，即0,1,2,3,2,1,2,3,4,…可推得p(5n)=n,
p(5n+1)=n+1,p(5n+2)=n+2,p(5n+3)=n+3,p(5n+4)=n+2(n∈n),
∴p(3)=3,p(5)=1,p(101)=p(20×5+1)=20+1=21.所以a、b、c均正確.
p(103)=p(20×5+3)=23,p(104)=p(20×5+4)=20+2=22,則p(103)>p(104).故選d.
7．c ak=2k+48,bk=4k+6，∵k≤21,∴bk≤ak，故以bk為直徑.
8．d 每7項之和構成的數列記為｛an｝，則｛ａn｝是等比數列，設公比為q,
q=2a4＋ａ5＋ａ6=112.
9．(1，-2) ∵2b=a+c，∴a-2b+c=0，∴必過點(1,-2).
10．3n2 設f(x)=ax+b,則f(x)=6x-3,再求和.
11．路程總和s=a［1+2+…+(k-1)］+0+a·［1+2+…+(n-k)］=［k2-(n+1)k+］·a.
∵a>0,且n為奇數，∴k=時s最小.
12．371 若某層放n2個,則它的上一層放n2-(2n-1)=(n-1)2個,設此堆物品共m層，則
(10-m+1)2=16,所以m=7,故此堆物品共7層.共有物品102+92+…+42=-
(12+22+32)=371個.
13．分析 （1）由賦值法求a1,a2,a3,由中點座標公式得到yn,yn+1,yn+3關係，再求得an+1=an，從而為常數列.
(2)由上式，再結合中點座標公式，原式即得證.
(3)由（2）式即可得到bn+1=-bn關係，原式即得證.
(1)解因為y1=y2=y4=1,y3=,y5=,所以a1=a2=a3=2.
又由題意可知yn+3=.
∴an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,∴為常數列.
∴an=a1=2,n∈n*.
(2)證明將等式yn+yn+1+yn+2=2兩邊除以2，得yn+=1,
又∵yn+4=,∴yn+4=1-，n∈n*.
(3)∵bn+1=y4n+8-y4n+4==- (y4n+4-y4n)= -bn,
又∵b1=y8-y4=-≠0,∴是公比為-的等比數列.
點評本題通過一類幾何圖形的座標作為切入點，既考查了學生的幾何知識又考查了代數知識，但側重於數列遞推關係式的應用，又涉及等比數列一系列知識.能力方面考查學生對所給條件的靈活運用，及綜合運用能力，解決問題的創新能力.
14．分析 an,bn由題意很容易即可求出，通過作差法比較bn與an的大小，bn-an是關於n的函式關係式，本題即可求解.
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