目錄第一章隨機變數及其概率 2
第二章隨機變數及其分布 13
第三章隨機變數的數字特徵 30
第四章正態分佈 39
第五章樣本及抽樣分布 49
第六章引數估計 54
第七章假設檢驗 68
1，寫出下列試驗的樣本空間：
（1） 連續投擲一顆骰子直至6個結果中有乙個結果出現兩次，記錄投擲的次數。
（2） 連續投擲一顆骰子直至6個結果中有乙個結果接連出現兩次，記錄投擲的次數。
（3） 連續投擲一枚硬幣直至正面出現，觀察正反面出現的情況。
（4） 拋一枚硬幣，若出現h則再拋一次；若出現t，則再拋一顆骰子，觀察出現的各種結果。
解：（1）；（2）；（3）；（4）。
2，設是兩個事件，已知，求。
解：，，
，3，在100，101，…，999這900個3位數中，任取乙個3位數，求不包含數字1個概率。
解：在100，101，…，999這900個3位數中不包含數字1的3位數的個數為，所以所求得概率為
4，在僅由數字0，1，2，3，4，5組成且每個數字至多出現一次的全體三位數中，任取乙個三位數。（1）求該數是奇數的概率；（2）求該數大於330的概率。
解：僅由數字0，1，2，3，4，5組成且每個數字之多出現一次的全體三位數的個數有個。（1）該數是奇數的可能個數為個，所以出現奇數的概率為
（2）該數大於330的可能個數為，所以該數大於330的概率為
5，袋中有5隻白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2隻白球，1只紅球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只紅球。
（3）4只中沒有白球。
解: （1）所求概率為；
（2） 所求概率為；
（3）所求概率為。
6，一公司向個銷售點分發張提貨單，設每張提貨單分發給每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點得到張提貨單的概率。
解：根據題意，張提貨單分發給個銷售點的總的可能分法有種，某一特定的銷售點得到張提貨單的可能分法有種，所以某一特定的銷售點得到張提貨單的概率為。
7，將3只球（1~3號）隨機地放入3只盒子（1~3號）中，乙隻盒子裝乙隻球。若乙隻球裝入與球同號的盒子，稱為乙個配對。
（1）求3只球至少有1只配對的概率。
（2）求沒有配對的概率。
解：根據題意，將3只球隨機地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：
123，132，213，231，312，321；沒有1只配對的放法有2種：312，231。至少有1只配對的放法當然就有6-2=4種。
所以（2）沒有配對的概率為；
（1）至少有1只配對的概率為。
8，（1）設，求,
.（2）袋中有6隻白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，並放入1隻白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續取球4次，求第
一、二次取到白球且第
三、四次取到紅球的概率。
解：（1）由題意可得，所以
， ，，，
。（2）設表示「第次取到白球」這一事件，而取到紅球可以用它的補來表示。那麼第
一、二次取到白球且第
三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為（根據乘法公式）
9，乙隻盒子裝有2隻白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取乙隻，做不放回抽樣，已知得到的兩隻球中至少有乙隻是紅球，求另乙隻也是紅球的概率。
解：設「得到的兩隻球中至少有乙隻是紅球」記為事件，「另乙隻也是紅球」記為事件。則事件的概率為
（先紅後白，先白後紅，先紅後紅）
所求概率為
10，一醫生根據以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人以為自己患癌症，且確實患癌症；有45%的人以為自己患癌症，但實際上未患癌症；有10%的人以為自己未患癌症，但確實患了癌症；最後40%的人以為自己未患癌症，且確實未患癌症。以表示事件「一病人以為自己患癌症」，以表示事件「病人確實患了癌症」，求下列概率。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解：（1）根據題意可得；；
（2）根據條件概率公式：；
（3）；
（4）；
（5）。
11，在11張卡片上分別寫上engineering這11個字母，從中任意連抽6張，求依次排列結果為ginger的概率。
解：根據題意，這11個字母中共有2個g，2個i，3個n，3個e，1個r。從中任意連抽6張，由獨立性，第一次必須從這11張中抽出2個g中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩餘的10張中抽出2個i中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。
最後要求的概率為
；或者。
12，據統計，對於某一種疾病的兩種症狀：症狀a、症狀b，有20%的人只有症狀a，有30%的人只有症狀b，有10%的人兩種症狀都有，其他的人兩種症狀都沒有。在患這種病的人群中隨機地選一人，求
（1）該人兩種症狀都沒有的概率；
（2）該人至少有一種症狀的概率；
（3）已知該人有症狀b，求該人有兩種症狀的概率。
解：（1）根據題意，有40%的人兩種症狀都沒有，所以該人兩種症狀都沒有的概率為；
（2）至少有一種症狀的概率為；
（3）已知該人有症狀b，表明該人屬於由只有症狀b的30%人群或者兩種症狀都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%，所以在已知該人有症狀b的條件下該人有兩種症狀的概率為。
13，一**計算機系統，有4條輸入通訊線，其性質如下表，求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率。
解：設「訊號通過通訊線進入計算機系統」記為事件，「進入訊號被無誤差地接受」記為事件。則根據全概率公式有
=0.99978
14，一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關節炎的檢驗法，對於確實患關節炎的病人有85%的給出了正確的結果；而對於已知未患關節炎的人有4%會認為他患關節炎。已知人群中有10%的人患有關節炎，問一名被檢驗者經檢驗，認為他沒有關節炎，而他卻有關節炎的概率。
解：設「一名被檢驗者經檢驗認為患有關節炎」記為事件，「一名被檢驗者確實患有關節炎」記為事件。根據全概率公式有
，所以，根據條件概率得到所要求的概率為
即一名被檢驗者經檢驗認為沒有關節炎而實際卻有關節炎的概率為17.06%.
15，計算機中心有三颱打字機a,b,c，程式交與各打字機打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.
1，打字機發生故障的概率依次為0.01, 0.05, 0.
04。已知一程式因打字機發生故障而被破壞了，求該程式是在a,b,c上打字的概率分別為多少？
解：設「程式因打字機發生故障而被破壞」記為事件，「程式在a,b,c三颱打字機上打字」分別記為事件。則根據全概率公式有
，根據bayes公式，該程式是在a,b,c上打字的概率分別為，，
。16，在通訊網路中裝有密碼鑰匙，設全部收到的訊息中有95%是可信的。又設全部不可信的訊息中只有0.
1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。
解：設「一訊息是由密碼鑰匙傳送的」記為事件，「一訊息是可信的」記為事件。根據bayes公式，所要求的概率為
17，將一枚硬幣拋兩次，以a,b,c分別記事件「第一次得h」，「第二次得h」，「兩次得同一面」。試驗證a和b，b和c，c和a分別相互獨立（兩兩獨立），但a,b,c不是相互獨立。
解：根據題意，求出以下概率為
， ；
，，。所以有
，，。即表明a和b，b和c，c和a兩兩獨立。但是
所以a,b,c不是相互獨立。
18，設a,b,c三個運動員自離球門25碼處踢進球的概率依次為0.5, 0.7, 0.
6，設a,b,c各在離球門25碼處踢一球，設各人進球與否相互獨立，求（1）恰有一人進球的概率；（2）恰有二人進球的概率；（3）至少有一人進球的概率。
解：設「a,b,c進球」分別記為事件。
（1）設恰有一人進球的概率為，則
（由獨立性）
（2）設恰有二人進球的概率為，則
（由獨立性）
（3）設至少有一人進球的概率為，則
。19，有一危重病人，僅當在10分鐘之內能有一供血者供給足量的a-rh+血才能得救。設化驗一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內需要2分鐘，醫院只有一套驗血型的裝置，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什麼血型相互獨立。
求病人能得救的概率。
解：根據題意，醫院最多可以驗血型4次，也就是說最遲可以第4個人才驗出是a-rh+型血。問題轉化為最遲第4個人才驗出是a-rh+型血的概率是多少？因為
第一次就檢驗出該型血的概率為0.4；
第二次才檢驗出該型血的概率為0.60.4=0.24；
第三次才檢驗出該型血的概率為0.620.4=0.144；
第四次才檢驗出該型血的概率為0.630.4=0.0864；
所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20，一元件（或系統）能正常工作的概率稱為元件（或系統）的可靠性。如圖設有5個獨立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯再併聯的方式連線，設元件的可靠性均為，試求系統的可靠性。
解：設「元件能夠正常工作」記為事件。
那麼系統的可靠性為
21，用一種檢驗法檢測產品中是否含有某種雜質的效果如下。若真含有雜質檢驗結果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質檢驗結果為不含有的概率為0.
9，據以往的資料知一產品真含有雜質或真不含有雜質的概率分別為0.4，0.6。
今獨立地對一產品進行了3次檢驗，結果是2次檢驗認為含有雜質，而一次檢驗認為不含有雜質，求此產品真含有雜質的概率。（注：本題較難，靈活應用全概率公式和bayes公式）
解：設「一產品真含有雜質」記為事件，「對一產品進行3次檢驗，結果是2次檢驗認為含有雜質，而1次檢驗認為不含有雜質」記為事件。則要求的概率為，根據bayes公式可得
又設「產品被檢出含有雜質」記為事件，根據題意有，而且，，所以
； 故，
（第1章習題解答完畢）
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