全等三角形
一、選擇題
1.（2010 年河南模擬）如圖，給出下列四組條件：
①；②；
③；④．
其中，能使的條件共有
a．1組b．2組c．3組d．4組
答案：c
2.（2023年河南中考模擬題3）如圖，在rt△abc中，ab=ac，d、e是斜邊bc上兩點，且∠dae=450，將△adc繞點a順時針旋轉900後，得到△afb，連線ｅｆ，下列結論其中正確的是（ ）
a．（2）（4） b．（1）(4)
c．(2) (3) d．(1) (3)
答案：b
二、填空題
1.（2023年山東新泰）如圖，在△abc和△ade中，有以下四個論斷：① ab＝ad，② ac＝ae，③ ∠c＝∠e，④ bc＝de，請以其中三個論斷為條件，餘下乙個論斷為結論，寫出乙個真命題（用序號「 」的形式寫出
答案：①②④ ③，或 ②③④ ①；
2.（2023年浙江杭州）在△abc中，ab＝6，ac＝8，
bc＝10，p為邊bc上一動點，pe⊥ab於e，pf⊥ac
於f，m為ef中點，則am的最小值為
答案：2.4
三、解答題
1.（2023年河南模擬）已知：如圖，已知：d是△abc的邊ab上一點，cn∥ab，dn交ac於，若ma=mc，
求證：cd=an.
證明：如圖，因為 ab∥cn
所以在和中
是平行四邊形
2.（2023年中考模擬2）如圖，在等腰梯形abcd中，∠c=60°，ad∥bc，且ad=dc，e、f
分別在ad、dc的延長線上，且de=cf，af、be交於點p .
（1）求證：af=be；
（2）請你猜測∠bpf的度數，並證明你的結論 .
答案：（1）∵ba=ad，∠bae=∠adf，ae=df，
∴△bae≌△adf，∴be=af；
（2）猜想∠bpf=120° .
∵由（1）知△bae≌△adf，∴∠abe=∠daf .
∴∠bpf=∠abe+∠bap=∠bae，而ad∥bc，∠c=∠abc=60°，
∴∠bpf=120
3.（2023年北京市中考模擬）已知：如圖，在△abc中，∠acb=，於點d,點e 在ac上，ce=bc,過e點作ac的垂線，交cd的延長線於點f .
求證：ab=fc
答案：證明：∵於點，
∴。∴。
又∵於點，∴。∴.
在和中，
∴。∴。4．（2023年赤峰市中考模擬）如圖，在四邊形abcd中，ab=bc，bf是∠abc的平分線，af
∥dc，連線ac、cf，求證：ca是∠dcf的平分線.
答案：證明∵ab=bc，bf是∠abc的平分線abf=∠cbf，又∵bf=bfabf≌△cbf。∴af=cf。∴∠acf=∠caf.
又∵af∥dc，∴∠acf=∠acd。
∴ca是∠dcf的平分線。
5.（2023年湖里區二次適應性考試）已知：如圖，直徑為的與軸交於點o、a，點把弧oa分為三等分，鏈結並延長交軸於d（0，3）.
（1）求證：；（2）若直線：把的面積分為二等分，
求證：答案：證明：
（1） 連線，∵oa是直徑，且把弧oa三等分，
又 又∵oa為直徑，∴，
∴，，在和中∴（asa
（2）若直線把的面積分為二等份，
則直線必過圓心
∵，，∴在rt中，
，把代入得：
6.(2023年三亞市月考)如圖，在正方形abcd中，e是ab邊上任意一點，bg⊥ce，垂足為點o,交ac於點f，交ad於點g。
（1） 證明：be=ag ；
（2） 點e位於什麼位置時，∠aef=∠ceb，說明理由.
解（1）證明：∵四邊形abcd是正方形
∴∠abc=∠bad=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵bg⊥ce,∴∠boc=90°∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠22分
在△gab和△ebc中，
∵∠gab=∠ebc=90°,ab=bc,∠1=∠2
∴△gab≌△ebc (asa) …………4分
∴ag=be5分
（2）解：當點e位於線段ab中點時，∠aef=∠ceb …… 6分
理由如下：若當點e位於線段ab中點時，則ae=be,
由（1）可知，ag=be ∴ag=ae7分
∵四邊形abcd是正方形，∴∠gaf=∠eaf=45°… 8分
又∵af=af,∴△gaf≌△eaf (sas)
∴∠agf=∠aef10分
由（1）知，△gab≌△ebc ∴∠agf=∠ceb,
∴∠aef=∠ceb11分
7.（2023年廣州市中考六模）、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40公尺，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15公尺(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積．
答案：情況1：銳角
（1）證明△ade∽△afc 得到cf=24 s△abc=480
情況2：鈍角
（2）證明△bde∽△bfa 得到af=24，bc=64 s△abc=768
8.（10年廣州市中考六模）、如圖，在正方形abcd中，點e、f分別在bc、cd上移動，但a到ef的距離ah始終保持與ab長相等，問在e、f移動過程中：
(1)求證：∠eaf = 45o ;
(2)△ecf的周長是否有變化？請說明理由.
答案：（1） 得到∠ahe=90o，rt△abe≌rt△abe
（2） 得到∠bae=∠hae
（3） 同理：∠daf=∠haf
（4） 得到2∠eaf=∠bad，∠eaf=45o
(2)△ecf的周長是否有變化？請說明理由
（1） 不變
（2） 由rt△abe≌rt△abe得到be=he
（3） 同理：df=hf
（4） c△abc = ce+cf+ef=ce+cf+be+df=2ab
9.（2023年廣西桂林適應訓練）已知：如圖點在同一直線上，,，ce=bf．求證：ab‖de ．
證明：∵
∴∵ce=bf
∴ce+be=bf+be
∴bc=ef
∵ac=df
∴△acb≌△dfe
∴ ∴ab∥de
10.（2023年黑龍江一模）如圖，d是ab上一點，df交ac於點e，ae=ec，cf∥ab．
求證：ad=cf．
證明：，．
又，，．
．11.（2023年天水模擬）如圖，△abc中，∠abc=∠bac=45°，點p在ab上，ad⊥cp，be⊥cp，垂足分別為d、e ，已知dc=2，求be的長。
解：∵∠abc=∠bac=45
∴∠acb=90
又∵ad⊥cp，be⊥cp
∴be∥ad
又∵∠1+∠2=90-∠3
∠α=∠2+∠4
2∠2+∠4=90-∠3
又∵2（45°-∠4）=2∠2
∴90-2∠2+∠4=90-∠3
∴∠4=∠3
又∵ac=bc; ∠adc=∠bec
∴△adc△≌ceb
dc=b=2
12.（2023年福建模擬）如圖，在□abcd中，e、f為bc
兩點，且be＝cf，af＝de．
求證：（1）△abf≌△dce；
（2）四邊形abcd是矩形．
證明：（1）∵be＝cf bf＝be＋ef ce＝cf＋ef
∴bf＝ce
又∵在平行四邊形abcd中，ab＝cd
∴△abf≌ △dec（sss
（2）由（1）知△abf≌ △dec ∴ ∠b=∠c
又∵在平行四邊形abcd中，ab∥cd
∴∠b+∠c=180° ∴∠c=90
∴四邊形abcdj是矩形.
13．（2023年廣州中考數學模擬試題(四)）如圖，在矩形abcd中，ae平分∠dab交dc於點e，連線be，過e作ef⊥be交ad於e.
(1)∠def和∠cbe相等嗎？請說明理由：
(2)請找出圖中與eb相等的線段(不另新增輔助線和字母)，並說明理由.
答案：（1）相等.
∵四邊形abcd是矩形,
∴∠c=∠d=90°.
bec+∠cbe=90°.
∵ef⊥be,
∴∠bef=90°.
∴∠def+∠bec=90°.
∴∠def=∠cbe.
（2）be=ef.
∵ae平分∠dab, ∴∠dae=∠bae.
∵ab∥cd, ∴∠bae=∠dea.
∴∠dae=∠dea .
∴ad=ed=bca.
∵∠c=∠d=90°, ∠def=∠cbe,
∴△def≌△cbe（asa）.
∴be=ef.
14.（2023年河南中考模擬題1）如圖，要測量河兩岸相對的兩點a、b的距離，可以在ab的垂線bf上取兩點b、d，使bc=cd，再定出bf的垂線de，使a、c、e在一條直線上，這時測得de的長就是ab的長。請說明理由。
答案：理由：∵ab⊥bf, ed⊥bf
∴∠abc=∠edc=900
又∵a、c、e三點在一條直線上
∴∠acb=∠ecd
又∵bc=dc
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