知識點：平面曲線的曲率（mc20306）
1 背景知識與引入方法
在微分幾何學中,與平面曲線有關的是三個基本概念：長度、切線和曲率.
瑞士數學家l尤拉在2023年首先引進了平面曲線內在座標這一概念.從而開始了曲線內在幾何的研究.尤拉將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對於弧長的變化率,這也成為一些教材引入曲率概念的方法之一.
2023年弗雷內得出了曲線的基本微分方程,亦即統稱弗雷內公式.後來,g達布創造了空間曲線的活動標架概念,完整地建立起曲線理論.所以有些教材把空間的弗雷內標架改造為平面弗雷內公式而匯出帶有正負號平面曲線曲率公式，它既表示曲線的彎曲程度，又表示曲線的彎曲方向.
（如：蕭樹鐵、居餘馬主編的《高等數學》第ⅲ卷,或馬知恩、王錦森主編的《工科數學分析基礎》）.
大多教材通常在直角座標系下,在曲線上相鄰兩點的切向量和之間夾角關於弧長的變化率引出曲率公式.
由實際問題先引出曲率圓、曲率半徑概念,由曲率半徑概念自然給出曲率定義,我們認為方法簡潔省事（如章棟恩等人編寫《高等數學》上冊）.
2 該知識點講解方法
2.1講解方法一：
曲率是乙個構造型的定義,通常由解決某一具體實際問題的方法來講清其構造的道理,再引出曲率概念其教法更為簡捷,例如力學問題中質點做曲線運動,在某點區域性情形的研究,可用圓周曲線來代替,而此圓周曲線（曲率圓）的建立僅僅使用了一階導、二階導的簡單應用,卻以最好的方式接近已知曲線,進而引出了曲率半徑定義.
2.1.1曲率圓
1、實際問題： 一質點作曲線運動,考察此運動在某點區域性情形時,可用圓周曲線來替代這點附近的曲線l,這樣就可以用圓周運動的知識來分析這點處的曲線運動.
（問題：什麼樣的圓周曲線在點m更接近曲線l呢？）
2、試求乙個圓周曲線c1）
使之滿足c過點2）
c與l在點m有相同斜率3）
c與l在點m有相同凹性4）
（1）式兩邊對求二階導：
（3）（4）式代入上面兩式有5）
6）從（6）式解出： 將其代入（5）式解出
代入（2）式解出：.
3、定義： 曲線l即上的點處，在其凹向一側的法線上取一點為圓心,以為半徑所得到的圓為l在點m處的曲率圓,為曲率半徑.
2.1.2曲率
1、曲率就是曲線在某點處的彎曲程度.如路彎度大,車子離心率越大；梁一般在彎的最厲害的地方斷裂；……圓的半徑越小彎的越厲害,於是
2、定義：為曲線在點處曲率.
2.2講解方法二：通常與分析曲線彎曲程度與曲線上相鄰兩點的切向量和之間的夾角大小有關,當轉角相同時,又與弧段的長短有關,於是曲率由關於的變化率來敘述.
2.2.1弧微分 （這裡只介紹弧微分公式的初等幾何解釋
設函式在區間內具有連續導數.基點為,為曲線上任意點,規定：
（1） 曲線的正向與增大的方向一致；
（2） 有向弧段的值表為： ；當的方向與曲線的正向一致時, s取正號；相反時, s取負號.
設弧是從點起弧長的改變量，而和是相應的的改變量，由直角三角形得到：
由此，當時，假定這條曲線具有連續導數，可用弧長代替再對時取極限，得到
由此得到弧長微分表示式
或如果弧長是朝增加的方向變化的，則取正號，反之取負號.
2.2.2曲率及其計算公式
1、 曲率的定義
1、曲率是描述曲線區域性性質（彎曲程度）的量.
設曲線c是光滑的,是基點.,切線轉角為.
定義：弧段的平均曲率為,曲線c在點m處的曲率.
在存在的條件下
注意：（1）直線的曲率處處為零；
（2）圓上各點處的曲率等於半徑的倒數,且半徑越小曲率越大.
2、曲率的計算公式
（ⅰ）設二階可導, ,
有, ,
,.（ⅱ）設,二階可導,
, ，
2.2.3 曲率圓與曲率半徑
定義：設曲線在點處的曲率為.在點處的曲線的法線上,在凹的一側取一點d,使.以d為圓心,為半徑作圖（如圖）,稱此圓為曲線在點m處的曲率圓.
—曲率中心,—曲率半徑
注意：1、 線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數.即,.
2、 曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小（曲線越平坦）；曲率半徑越小,曲率越大（曲線越彎曲）.
3、一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧（稱為曲線在該點附近的二次近似）.
2.3 講解方法三
用曲線離開切線的速度刻畫曲率；在已知弧長積分表示式的前提下推導曲率計算公式.
2.3.1曲率：曲率是表示曲線方向改變快慢的量.
設a是曲線l上點,m是接近a的點(圖1).由a沿曲線到m其切線的轉角為,長度的弧段am的平均旋轉速度.定義曲線l在點a處曲率.
例：討論圓的曲率（圖2
角所張的弧am長度,於是, 所以圓所有點處的曲率都相同，等於半徑的倒量.
2.3.2曲率公式：平面曲線l由函式給出,具有連續導數，取固定點n作為計算弧長的起點（圖3）,切線傾斜角從點a到m的改變量，
其中, ,
故，得.最終有
2.4講解方法四：
曲線的解析表示式以向量形式給出,在已有矢函式微分積分知識的前提下給出曲率概念.
給定曲線
弧長：,
是弧微分.
單位切矢：，則.是曲線的單位法矢.
這樣是曲率,是曲率半徑, 以為矢徑的點是曲率中心.
具體形式，若, 則.
若, 則.
例題的選擇方法：曲率的實際應用,根據專業特點擊擇為好.
3 例題
例1 直線的曲率恒為零.
解：直線,因,故各點處曲率為零,所以直線不彎.
例2 拋物線上哪點曲率最大？
解：由於, ,故,
當,即時,取最大值,
故拋物線在頂點處處曲率最大.
例3 一工件內表面截線為,用砂輪磨削其內表面,半徑多大合適？
解：砂輪半徑拋物線上各點處曲率半徑的最小者,才不會破壞工件內表面,由例2知拋物線在頂點處曲率最大,曲率半徑最小.
, , , ,所以砂輪半徑不能大於1.25．
4 擴充套件知識
黎曼流形的曲率是微分幾何中最重要的幾何量之一，曲率和流形的拓撲結構之間的聯絡是乙個十分重要的問題．
對於黎曼流形來說,有三種不同層次的曲率,一種是截面曲率,它相應於在每點某一平面方向所相應的曲率.另一種是里奇曲率,它是由截面曲率以適當的形式作和而成.第三種是數量曲率,它是里奇曲率的跡.
這三種曲率和流形的拓撲性質之間有很強的相互制約作用,這方面的研究成果非常豐富,而且是微分幾何主要研究方向之一．
5 參考文獻
[1] 章棟恩，金元懷．高等數學．北京：中國標準出版社 ，1998
[2] 同濟大學應用數學系．高等數學．北京：高等教育出版社，2002
[3] a.д.亞歷山卓洛夫．數學——它的內容、方法和意義．北京：科學技術出版社，1959
6 參考教案
高中數學平面解析幾何曲線總結
一 1 橢圓定義 到兩定點距離之和為一常數的平面幾何曲線 即 mo1 mo2 2a 或定義 任意一條線段，段中任取兩點 不包括兩端點 將線段兩端點置於這兩點處，用乙個釘子將線段繃直旋轉一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。從橢圓定義出發得到乙個基本結論 橢圓上任意一點引出的兩個焦半徑之和為常數2a。2 橢...
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夾在兩個平行平面間的線段，如果它的長度相等，則它們與平面所成的角也相等 在過定點p的直線中，被兩平行平面所截得的線段長為d的直線有且只有一條，則兩平行平面間的距離也為d 其中假命題共有 a 1個 b 2個 c 3個 d 4個 8 設 p q 當p q分別在平面 內運動時，線段pq的中點x也隨著運動，...