【例1】 二次函式的圖象如圖所示，過軸上一點，的直線與拋物線交於，兩點，過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，．
1 當點的橫座標為時，求點的座標；
⑵ 在⑴的情況下，分別過點，作軸於，軸於，在上是否存在點，使為直角．若存在，求點的座標；若不存在，請說明理由；
（3）當點在拋物線上運動時(點與點不重合)，求的值．
【例2】 已知一元二次方程的一根為．
（1）求關於的解析式；
（2）求證：拋物線與軸有兩個交點；
（3）設拋物線的頂點為，且與軸相交於兩點，求使面積最小時的拋物線的解析式．
【例3】 已知二次函式的圖象的對稱軸是直線，且它的最高點在直線上．⑴ 求此二次函式的解析式；⑵ 若此二次函式的圖象開口方向不變，定點在直線上移動到點時，圖象與軸恰好交於、兩點，且，求這時的二次函式的解析式．
【例4】 如圖，已知拋物線與軸交於點、，交軸負半軸於點，點在點的右側，，．
(1)求拋物線的解析式；(2)求的外接圓的面積；
(3) 在拋物線上是否存在點，使得的面積為． 如果有，這樣的點有幾個；如果沒有，請說明理由．
【例5】 一開口向上拋物線與x軸交於a（，0），b（m＋2，0）兩點，記拋物線頂點為，且ac⊥bc．
（1）若m為常數，求拋物線的解析式；
（2）若m為小於0的常數，那麼（1）中的拋物線經過怎麼樣的平移可以使頂點在座標原點？
（3）設拋物線交y軸正半軸於d點，問是否存在實數m，使得△bcd為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【例6】 在平面直角座標系中，現將一塊等腰直角三角板abc放在第二象限，斜靠在兩座標軸上，且點
a（0，2），點c（-1，0），如圖所示，拋物線經過點b．
（1）求點b的座標；（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點p（點b除外），使△acp仍然是以ac為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點p的座標；若不存在，請說明理由．
【例7】 如圖所示，拋物線的頂點為a，其中．
（1）已知直線：，將直線沿軸向 （填「左」或「右」）平移個單位（用含的代數式）後過點a；
（2）設直線平移後與軸的交點為b，若動點q在拋物線對稱軸上，問在對稱軸左側的拋物線上是否存在點p，使以p、q、a為頂點的三角形與△相似，且相似比為2？若存在，求出的值，並寫出所有符合上述條件的p點座標；若不存在，說明理由．
（1）若經過點a，需經過（m，0），由圖中可以看出應向右平移m個單位；
（2）求得平移後相應的直線解析式以及與y軸的交點，易得△oab的2直角邊的比為：1，那麼以p、q、a為頂點的三角形的兩直角邊的比也為：1，分點q處和點p處為直角求得相應用m表示的座標，代入二次函式解析式求得相應值即可．
【解析】
（1）直線l：，將直線l沿x軸向右平移m個單位後過點a；
（2）由題意點a（m，0），
將其代入，
得（3分）
∴此時直線l的解析式：
，點b（0，-），
以p、q、a為頂點的三角形與△oab相似，且相似比為2，共有以下四種情況，
①∠pqa=90°，
當時可得
∴，代入拋物線解析式得：解得∴
②∠pqa=90°，
當時可得
∴，代入拋物線解析式得：，解得
∴③∠qpa=90°，
當時，可得，
過p作ph⊥aq於h，則，
∴，代入拋物線解析式得：
解得m=1
∴④∠qpa=90°，
當時，可得，
過p作ph⊥aq於h，則，
∴，代入拋物線解析式得：解得∴
綜上，符合條件的點共有四個3），（1-，-3），（，-）．
【例8】 如圖，已知拋物線與軸交於、兩點，與軸交於點．
⑴ 求、、三點的座標．
⑵ 過點作交拋物線於點，求四邊形的面積．
⑶ 在軸上方的拋物線上是否存在一點，過作軸於點，
使以、、三點為頂點的三角形與相似．若存在，請求出點的座標；否則，請說明理由．
【例9】 如圖，過的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，側兩條直線之間的距離叫的「水平寬」，中間的這條直線在內部線段的長度叫的「鉛垂高」．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等於水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題：如圖12-2，拋物線頂點座標為點,交軸於點，交軸於點.
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）點是拋物線(在第一象限內)上的乙個動點，鏈結，，當點運動到頂點時，求的鉛垂高及；
（3）是否存在一點，使，若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由.
【例10】 已知拋物線與軸相交於點， ，且是方程的兩個實數根，點為拋物線與軸的交點．
（1）求的值；
（2）分別求出直線和的解析式；
（3）若動直線與線段分別相交於兩點，則在軸上是否存在點，
使得為等腰直角三角形？若存在，求出點的座標；若不存在
【例11】 如圖，拋物線與軸交於兩點，與軸交於點，且．
（1）求拋物線的解析式及頂點的座標；）
（2）判斷的形狀，證明你的結論；
（3）點是x軸上的乙個動點，當的值最小時，求m的值．
【例12】 如圖，拋物線經過三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）p是拋物線上一動點，過p作軸，垂足為m，是否存在p點，使得以a，p，m為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由；
（3） 在直線ac上方的拋物線上有一點d，使得的面積最大，求出點d的座標．
【例13】 如圖，拋物線與x軸交與a(1,0),b(- 3，0)兩點，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與c點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點q，使得△qac的周長最小？若存在，求出q點的座標；若不存在，請說明理由.
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點p，使△pbc的面積最大？，若存在，求出點p的座標及△pbc的面積最大值.若沒有，請說明理由.
【例14】 如圖，在直角座標系中，點的座標為，鏈結，將線段繞原點順時針旋轉，得到線段．
⑴ 求點的座標；
⑵ 求經過、、三點的拋物線的解析式；
⑶ 在⑵中拋物線的對稱軸上是否存在點，使的周長最小？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
⑷ 如果點是⑵中的拋物線上的動點，且在軸的下方，那麼是否有最大面積？若有，求出此時點的座標及的最大面積；若沒有，請說明理由．
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