集合與常用邏輯用語、基本初等函式、導數及其應用
時間120分鐘滿分150分
第ⅰ卷(選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2014·天津河西質量調查)設集合a＝，b＝，全集u＝a∪b，則集合u(a∩b)中的元素共有( )
a．3個 b．4個
c．5個 d．6個
解析：由題意得a∩b＝，u＝a∪b＝，所以u(a∩b)＝．
答案：a
2．(2014·陝西質檢)若集合a＝，b＝，則a∩b＝( )
a．(－1,0) b．[－1,0)
c．(－1,0] d．[－1,0]
解析：因為a＝，b＝，所以a∩b＝．
答案：a
3．(2014·浙江金華十校期末)滿足m，且m∩＝的集合m的個數是( )
a．1 b．2
c．3 d．4
解析：由題意得m，
所以m＝或m＝．
答案：b
4．(2014·南京調研)設集合p＝，q＝，則p∩q＝( )
a． b．
c． d．
解析：p＝，又x∈p時，y＝x2－1∈[－，＋∞)，故q＝，故p∩q＝．
答案：c
5．(2013·山東)已知函式f(x)為奇函式，且當x＞0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝( )
a．2 b．1
c．0 d．－2
解析：因f(x)為奇函式，故f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
答案：d
6．(2014·廣州綜合測試)設全集i是實數集r，m＝與n＝都是i的子集(如圖所示)，則陰影部分所表示的集合為( )
a． b．
c． d．
解析：m＝，n＝＝，陰影部分所表示的集合為(rm)∩n＝∩＝．
答案：c
7.(2013·安徽)「(2x－1)x＝0」是「x＝0」的( )
a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
解析：由(2x－1)x＝0可得x＝或0，因為「x＝或0」是「x＝0」的必要不充分條件，故答案選b.
答案：b
8．(2014·北京東城期末)有下列四個命題：
①「若xy＝1，則x，y互為倒數」的逆命題；
②「面積相等的三角形全等」的否命題；
③「若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數解」的逆否命題；
④「若a∩b＝b，則a b」的逆否命題．
其中真命題為( )
a．①② b．②③
c．④ d．①②③
解析：①中逆命題為「若x，y互為倒數，則xy＝1」，為真命題．
②中否命題為「若兩三角形面積不相等，則兩三角形不全等」，為真命題．
③中x2－2x＋m＝0有實數解δ＝4－4m≥0m≤1，
故原命題正確，其逆否命題為真命題．
④若a∩b＝b，則ba，為假命題，故其逆否命題為假命題．
答案：d
9．(2014·遼寧大連期末)已知命題p：x∈r，使sinx－cosx＝，命題q：集合有2個子集，下列結論：
①命題「p∧q」是真命題；②命題「p∧(綈q)」是假命題；③命題「(綈p)∨(綈q)」是真命題，正確的個數是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：sinx－cosx＝sin(x－)∈[－，]，而[－，]，故命題p是假命題；集合＝，故其子集有與兩個，故命題q是真命題，所以命題「p∧q」是假命題，命題「p∧(綈q)」是假命題，命題「(綈p)∨(綈q)」是真命題，②③正確．
答案：c
10．(2014·浙江嘉興第二次測試)已知函式f(x＋1)是偶函式，當x2＞x1＞1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＞0恆成立，設a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關係為( )
a．b＜a＜c b．c＜b＜a
c．b＜c＜a d．a＜b＜c
解析：本題主要考查抽象函式的性質．由函式f(x＋1)為偶函式知f(x)的對稱軸為x＝1.
當x2＞x1＞1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＞0得到f(x)在(1，＋∞)上是遞增的，
所以f(－)＝f()，所以f(2)＜f()＜f(3)．即b＜a＜c.
答案：a
11．(2014·江蘇蘇北四市第一次調研)若函式y＝f(x)在r上可導且滿足不等式xf′(x)＋f(x)＞0恆成立，且常數a，b滿足a＞b，則下列不等式一定成立的是
( )
a．af(a)＞bf(b) b．af(b)＞bf(a)
c．af(a)＜bf(b) d．af(b)＜bf(a)
解析：由題意設f(x)＝xf(x)，則f′(x)＝xf′(x)＋f(x)，則f′(x)＞0，∴f(x)為單調增函式，
又a＞b，∴f(a)＞f(b)．
∴af(a)＞bf(b)．
答案：a
12．(2014·海口調研)定義在r上的函式f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，當x≥2時，f(x)單調遞增，如果x1＋x2＞4，且(x1－2)(x2－2)＜0，則f(x1)＋f(x2)的值為( )
a．恆小於0 b．恆大於0
c．可能為0 d．可正可負
解析：可以由f(x)＝－f(4－x)得函式圖象關於點(2,0)成中心對稱直觀解答；也可直接推理，由(x1－2)(x2－2)＜0不妨設x1＞2，x2＜2，由條件得f(x2)＝－f(4－x2)，故f(x1)＋f(x2)＝f(x1)－f(4－x2)，由x2＜2且x1＋x2＞4x1＞4－x2＞2，由於函式在[2，＋∞)上為增函式，可得f(x1)＞f(4－x2)，故選b.
答案：b
第ⅱ卷(非選擇題，共90分)
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題～第24題為選考題，考生根據要求做答。
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．(2014·蘇、錫、常、鎮四市第二次情況調查)設函式f(x)是定義在r上的奇函式，若當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lgx，則滿足f(x)＞0的x的取值範圍是________．
解析：根據題意，畫出y＝f(x)的草圖如圖所示，則f(x)＞0的x的取值範圍是(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
14．(2014·東北三校聯考)曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________．
解析：∵f′(x)＝ex＋xex＋2，∴f′(0)＝3，
∴函式f(x)在點(0,1)處的切線方程為y－1＝3x，即y＝3x＋1.
答案：y＝3x＋1
15．(2014·瀋陽第二次質量監測)已知函式f(x)的定義域為r，且滿足f(x＋3)＋f(x)＝2，又當x∈[－3,0]時，f(x)＝，則f(5
解析：由f(x＋3)＝2－f(x)得，
f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝2－f(x＋3)＝2－(2－f(x))＝f(x)，
∴函式f(x)的週期為6，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝＝.
答案：16．(2014·遼寧重點中學協作體一模)已知函式y＝f(x)是r上的偶函式，對於x∈r都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有＞0，給出下列命題：
①f(3)＝0；
②直線x＝－6是函式y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；
③函式y＝f(x)在[－9，－6]上為增函式；
④函式y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為把所有正確命題的序號都填上)
解析：由已知f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3得f(3)＝f(－3)＋f(3)，則f(－3)＝0，又函式為偶函式，故f(－3)＝f(3)＝0，故①正確．據此可得f(x＋6)＝f(x)，即函式以6為週期，由條件還可知函式在[0,3]上遞增，據此可作出滿足題意的函式圖象如圖：
觀察圖象可知函式在[－9，－6]上遞減，即③錯，②④均正確，故應填①②④.
答案：①②④
三、解答題(本大題共6小題，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(2014·安徽皖南八校第二次聯考)(本小題滿分12分)
已知集合a＝，集合b＝．
(1)若a＝b，求實數k的值；
(2)若b∩r＝r，求實數k的取值範圍．
解：(1)∵b＝a＝，
∴kx2＋2x＋6k＝0有兩個實數根2,3，且k＜0，
∴∴k＝－.
(2)∵b∩r＝r，∴b＝r，
∴解得k＞，
∴k的取值範圍是．
18．(2014·北京西城抽樣測試)(本小題滿分12分)
設命題p：函式f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定義域為r；命題q：不等式＜1＋ax對一切正實數均成立．如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數a的取值範圍．
解：命題p為真命題函式f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定義域為rax2－x＋a＞0對任意實數x均成立．
當a＝0時，－x＞0，解集不為r，故a≠0，
所以a＞2.故命題p為真命題a＞2.
命題q為真命題－1＜ax對一切正實數x均成立a＞＝
＝對一切正實數x均成立，
由於x＞0，所以＞1，所以＋1＞2，
所以0<＜1，所以命題q為真命題a≥1.
根據題意知，命題p與q有且只有乙個是真命題，當命題p為真命題且命題q為假命題時，a不存在；當命題p為假命題且命題q為真命題時，a的取值範圍是[1,2]．
綜上，命題p或q為真命題，命題p且q為假命題時，實數a的取值範圍是[1,2]．
19．(2014·廣東六校聯考)(本小題滿分12分)
已知函式f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數)，x∈r；f(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函式f(x)的值域為[0，＋∞)，求f(x)的表示式；
(2)在(1)的條件下，當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函式，求實數k的取值範圍；
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