專題三函式、導數、不等式（文科）
【自主預習】
一、專題定位
函式是初等數學中最重要的內容之一，導數是研究函式的重要工具，因此該專題的內容是高考考查的重點內容，也是命題分量最重的一部分，命題的主要形式是以導數為工具，研究初等函式的圖象與性質，命題範圍幾乎涵蓋了與函式有關的所有方面的知識. 在高考試卷中一般是2～3道小題和一道解答題，小題重在有針對性地考查一些重要知識點，如考查基本初等函式的定義、性質、圖象等，解答題重點在研究函式問題，一般作為21題出現（07—11年這五年的山東高考試題均在21題出現，12年在22題出現）. 解答題和選擇題、填空題考查內容和方法上相互補充，一般不會重複相同內容.
考查命題的角度通常有：一是用導數研究函式問題，結合不等式重點考查單調性、極值與最值等問題，充分體現導數的工具性作用，文科要注意三次函式或者含有形如、的超越函式（07年、08年、12年均是這樣考查的），特別是分式形式的求導尤其要引起足夠的重視（08—12年均是涉及或是重點考查了分式形式的求導）等；二是將數列作為一種特殊的函式用導數和不等式來研究數列問題，如證明關於數列的不等式、數列求和問題等；三是以應用題的形式來研究函式的問題，如2023年21題的導數應用題.，解答題一般設計二問,，有時候也會設定三問，層層遞進，儘管難度大，但入門檻低，大部分學生還是能得到一般左右的分數.
二、要點點撥
①深刻理解一次函式、二次函式、正比例函式、反比例函式、冪函式、指數函式、對數函式的圖象與性質，熟練掌握判斷、證明與應用函式的三大特性（單調性、奇偶性（對稱性）、週期性）的方法，這些知識既可以以選擇或填空的形式單獨考查，也可能綜合考查. ②熟練掌握基本的數學方法和思想，如配方法、待定係數法、數形結合法、分類討論等，這些方法構成了函式這一部分應用的廣泛性、解法的多樣性和思維的創造性；熟練掌握函式圖象的基本變換，如平移、翻轉、對稱等，無論是作為客觀題還是主觀題，都可能對這些內容進行考查. ③熟練掌握研究三個二次問題的思想與方法.
④含引數的函式問題是該部分的難點，對引數的分類討論要遵循不重、不漏的原則，正確確定分類標準是解題的關鍵.⑤導數作為研究函式的重要工具，主要應用在判斷或證明函式單調性、單調區間，求函式的極值（或最值），求引數的範圍，證明不等式，研究方程根的個數或者是函式圖象的交點個數等問題，應熟悉解決這些問題的基本方法或流程..
三、易錯易混點提醒
①研究函式的性質要始終牢記函式的定義域，離開了定義域談函式的性質是無意義的，求函式的單調區間是定義域的子集，再如，判斷函式的奇偶性首先應當判斷定義域是否關於原點對稱，同時，研究函式性質要注意結合圖象來研究.②分段函式各段的端點處不能重複，注意分段函式的單調性、奇偶性、值域的求法.③指、對函式要討論底數，對數函式要注意定義域.
④題目中給出的引數的範圍要引起足夠的重視。⑤求曲線切線時，要分清是過點的切線還是在點的切線，以及如何求切線的方程. ⑥注意區別函式的極值和最值.
四、考題演練
１、[2012·山東卷] 函式的定義域為 （ ）
（a） （b） （c） （d）
2、[2012·重慶卷] 已知，，，則的大小關係是（ ）
（a） （b） （c） （d）
3、[2012·天津卷] 下列函式中，既是偶函式，又在區間（1,2）內是增函式的為（ ）
（a）y=cos2x，xr （b）y=log2|x|，xr且x≠0
（c）y=，xr （d）y=，xr
4、[2012·安徽卷]要得到函式y=cos（2x+1）的圖象，只要將函式y=cos2x 的圖象
（a） 向左平移1個單位b）向右平移1個單位
（c） 向左平移個單位d）向右平移個單位
5、[2012·山東卷] 函式的圖象大致為 （ ）
6、[2011·課標全國卷] 在下列區間中，函式f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區間為( )
a. b. c. d.
7、[2012·課標全國卷] 當0（a）(0b）(，1) （c）(1，) （d）(，2)
8、[2012·四川卷] 函式的圖象可能是（ ）
9、[2012·湖南卷] 設定義在r上的函式f(x)是最小正週期為2π的偶函式，是f(x)的導函式，當時，0＜f(x)＜1；當x∈（0，π） 且x≠時 ，，則函式y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零點個數為（ ）
a .2 b .4 c.5 d. 8
10、[2011·遼寧卷] 函式f(x)的定義域為r，f(－1)＝2，對任意x∈r，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為( )
a．(－1,1b．(－1，＋∞)
c．(－∞，－1d．(－∞，＋∞)
11、[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函式f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等於( )
a．2b．3c．6d．9
12、[2012·山東卷]設函式，.若的圖象與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則下列判斷正確的是（ ）
a、 b、
c、 d、
【課堂講練】
題組一基本初等函式的圖象與性質
【典型題目】
1、已知函式若函式圖象上任意一點關於原點的對稱點的軌跡恰好是函式的圖象.
(1)求函式的解析式；
(2)當時總有成立，求的取值範圍.
2、(2012江蘇)如圖，建立平面直角座標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直於地平面，單位長度為1千公尺，某炮位於座標原點．已知炮彈發射後的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫座標．
(1)求炮的最大射程；
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千公尺，試問它的橫座標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
3. 已知二次函式f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函式在區間[－1,1]上存在零點，求實數q的取值範圍；
(2)問是否存在常數t(t≥0)，當x∈[t,10]時，f(x)的值域為區間d，且區間d的長度為12－t.
4已知二次函式，若不等式的解集為.
（1）求集合；
（2）若方程在上有解，求實數的取值範圍.
5. 已知函式（為實常數）．
（1）若，作函式的影象；
（2）設在區間上的最小值為，求的表示式；高
（3）設，若函式在區間上是增函式，求實數的取值範圍．
【鞏固訓練】
1．(2012福建卷)對於實數a和b，定義運算「*」：a*b設f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關於x的方程f(x)＝m(m∈r)恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值範圍。
2. 已知二次函式的圖象經過座標原點，且滿足，設函式,其中為常數且.
(1)求函式的解析式；
(2)當時，判斷函式的單調性並且說明理由．
3、某加工廠需定期購買原材料，已知每公斤原材料的**為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元．每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需消耗原材料400公斤，每次購買的原材料當天即開始使用(即有400公斤不需要保管)．
(1)設該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內總的保管費用y1(元)關於x的函式關係式；
(2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y(元)最少，並求出這個最小值．
4、已知函式f (x)=。
（1）若函式f (x)在[1，+∞）上為增函式，求正實數的取值範圍；
（2）當=1時，求f (x)在[，2]上的最大值和最小值。
（3）求證：對於大於1的正整數n，。
5. 設函式.
（1）求的最小值；
（2）若對時恆成立，求實數的取值範圍.
題組二函式零點及函式模型的應用
【典型題目】
1. 設函式f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)對於任意實數x，f′(x)≥m恆成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且僅有乙個實根，求a的取值範圍．
2. 已知二次函式.（1）若，試判斷函式零點個數；(2)若對且，，試證明，使成立。
(3)是否存在，使同時滿足以下條件①對，且；②對,都有。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
3、[2011·天津卷] 已知函式f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈r，其中t∈r.
(1)當t＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)當t≠0時，求f(x)的單調區間；
(3)證明：對任意t∈(0，＋∞)，f(x)在區間(0,1)內均存在零點．
【鞏固訓練】
1. (2012·福建)已知函式f(x)＝axsin x－(a∈r)，且在上的最大值為.
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)判斷函式f(x)在(0，π)內的零點個數，並加以證明．
2. 已知函式，.
（1）如果函式在上是單調增函式，求的取值範圍；
（2）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值範圍；若不存在，請說明理由．
3. 已知、、是直線上的不同的三點，o是直線外一點，向量、、滿足，記．
（1）求函式的解析式；
（2）若，,證明：不等式成立；
（3）若關於的方程在上恰有兩個不同的實根，求實數的取值範圍．
4. 設函式
（1）若函式的影象在處的切線與直線垂直，求實數的值；
（2）已知，若在上r單調遞減，且在區間內存在零點，求實數的取值範圍.
題組三導數及應用
【典型題目】
1、[2011·重慶卷] 設f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導數f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數a，b∈r.
(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)設g(x)＝f′(x)e－x，求函式g(x)的最值．
2、設函式
（ⅰ）當曲線處的切線斜率
（ⅱ）求函式的單調區間與極值；
（ⅲ）已知函式有三個互不相同的零點0，，且。若對任意的，恆成立，求m的取值範圍。
3.已知函式.
文刀川頁叢書高考數學二輪複習專項 函式
1.甲乙兩公司生產同一種新產品，經測算，對於函式，及任意的，當甲公司投入萬元作宣傳時，乙公司投入的宣傳費若小於萬元，則乙公司有失敗的危險，否則無失敗的危險 當乙公司投入萬元作宣傳時，甲公司投入的宣傳費若小於萬元，則甲公司有失敗的危險，否則無失敗的危險.設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元...
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蒼海高中高三 理科 數學二輪複習專題一 函式與導數 上課用 班級姓名 一 選擇題 1 福建 若集合a i是虛數單位 b 則a b等於 a b c d 2 下列函式中，定義域是r且為增函式的是 a y e x b y x3 c y lnx d y x 3 浙江 已知函式f x x3 ax2 bx c，...