2014高考階段性檢測（六）
第ⅰ卷1、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知x>0，y>0，且＋＝1，則＋的最小值為( )
a．1 b．2 c．4 d.
[答案] c
[解析] ∵x>0，y>02＋＋≥4，等號在2y＝3x，即x＝4，y＝6時成立．
2.乙個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的數學期望為2(不計其它得分情況)，則ab的最大值為( )
abcd.
[答案] d
[解析] e(ξ)＝3a＋2b＝2，∴ab＝(3a)×(2b)≤()2＝，等號在3a＝2b，即a＝，b＝時成立．
3.設偶函式f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則＝( )
a． b． c． d．
[答案] b
[解析] 令t＝x－2，則f(x－2)>0化為f(t)>0，∴t≥0時，2t－4>0，∴t>2，又f(x)為偶函式，∴t<0時，f(t)>0的解為t<－2，∴x－2>2或x－2<－2，∴x>4或x<0，故選b.
[點評] 也可以先由偶函式定義求出f(x)在r上的解析式，再代入f(x－2)>0中化為關於x的不等式組求解．
4.設m＝，n＝()x＋y，p＝3 (其中0a．m[答案] d
[解析] ∵y>x>0，∴ >，
∴3>3，即n>p，
∵m＝>＝＝3＝()x＋y＝n，∴m>n>p.
[點評] 可取特值檢驗求解，如x＝1，y＝2，或x＝2，y＝8.
5.函式f(x)＝ex－x(e為自然對數的底數)在區間[－1,1]上的最大值是( )
a．1b．1 c．e＋1d．e－1
[答案] d
[解析] f ′(x)＝ex－1，當x>0時，f ′(x)>0，f(x)為增函式，當x<0時，f ′(x)<0，f(x)為減函式，∴x∈[－1,1]時，f(x)的最小值為f(0)＝e0－0＝1，又f(－1)＝＋1<，f(1)＝e－1>2.5－1＝，∴最大值為e－1.
6.函式y＝xex的最小值是( )
a．－1b．－e cd．不存在
[答案] c
[解析] y′＝ex(1＋x)，由y′>0得x>－1，由y′<0得x<－1，
∴x＝－1時，ymin＝－.
7.設曲線y＝在點處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數a等於( )
a．－1bc．－2d．2
[答案] a
[解析] ∵y′＝＝
∴f′＝－1，由條件知＝－1，
∴a＝－1，故選a.
8.已知奇函式f(x)的定義域為(－2,2)，導函式為f ′(x)＝2＋cosx，且f(0)＝0，則滿足f(1＋x)＋f(x－x2)>0的實數x的取值範圍為( )
a．(－1,1) b．(－1,1＋) c．(1－，1) d．(1－，1＋)
[答案] c
[解析] ∵f ′(x)＝2＋cosx>0，
∴f(x)在(－2,2)上為增函式，
又∵f(x)為奇函式，f(1＋x)＋f(x－x2)>0，
∴f(1＋x)>f(x2－x)，
∴由(1)得，－3的圖象經過怎樣的平移後所得的圖象關於點(－，0)中心對稱( )
a．向左平移個單位 b．向左平移個單位
c．向右平移個單位 d．向右平移個單位
[答案] c
[解析] y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，向右平移個單位得y＝sin2(x－＋)，∵當x＝－時，sin2(x－＋)＝0，∴需向右平移個單位．
解法二：將y＝sin(2x＋)的圖象向右平移φ個單位後，得y＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，其圖象關於點(－，0)對稱，∴2×(－)＋－2φ＝kπ，∴φ＝－＋，∵k∈z，∴k＝0時，φ＝，故選c.
10.方程|x|＝cosx在
a．沒有根 b．有且僅有乙個根 c．有且僅有兩個根 d．有無窮多個根
[答案] c
[解析] 在同一座標系中作出函式y＝|x|與y＝cosx的圖象知，兩函式圖象有且僅有兩個交點．
11.已知函式f(x)＝acos(ωx＋φ)(a>0，ω>0,0<φ<π)為奇函式，該函式的部分圖象如圖所示，△efg是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為( )
abcd．－
[答案] d
[解析] ∵△efg為邊長為2的正三角形，∴f(x)的週期為4，∴＝4，∴ω＝，∵f(x)為奇函式，0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝－asin(x)，其最大值為a＝，
∴f(x)＝－sinx，∴f(1)＝－.
12.已知函式f(x)的定義域為r，f(0)＝1，對任意x∈r都有f(x＋1)＝f(x)＋2，則＋＋…＋＝( )
abcd.
[答案] b
[解析] ∵f(x＋1)＝f(x)＋2，∴當x∈n*時，f(x)是以f(1)＝3為首項，公差為2的等差數列，∴f(x)＝3＋2(x－1)＝2x＋1，f(0)＝1也滿足11－)＝.
第ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題-第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題-第24題為選考題，考生根據要求做答。
2、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13.設n＝(3x2－2)dx，則(x－)n展開式中含x2項的係數是________．
[答案] 40
[解析] ∵(x3－2x)′＝3x2－2，
∴n＝(3x2－2)dx＝(x3－2x)|
＝(23－2×2)－(1－2)＝5.
∴(x－)5的通項公式為tr＋1＝cx5－r(－)r
＝(－2)rcx5－，令5－＝2，得r＝2，
∴x2項的係數是(－2)2c＝40.
14.對於三次函式y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設f ′(x)是函式y＝f(x)的導數，f ″(x)是f ′(x)的導數，若方程f″(x)＝0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函式y＝f(x)的「拐點」．某同學經過**發現：
任何乙個三次函式都有「拐點」；任何乙個三次函式都有對稱中心，且「拐點」就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據這一發現，求：
函式f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為________；
15.根據14題計算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f
[答案] (1)(，1) (2)2010
[解析] f ′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝，f()＝×()3－×()2＋3×－＝1，由拐點的定義知f(x)的拐點即對稱中心為(，1)．
∴f()＋f(1－)＝f()＋f()＝2(k＝1，2，…，10)，
∴f()＋f()＋…＋f()＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2×1005＝2010.
16.將一根長為10厘公尺的鐵絲用剪刀剪成兩段，再將每一段剪成相等的兩段，然後將剪開的4段鐵絲圍成乙個矩形，則圍成的矩形面積大於6的概率等於________．
[答案]
[解析] 設剪成兩段長度分別為x,10－x，則圍成矩形的面積s＝·(5－)，令s>6得， (5－)>6，∴x(10－x)>24，∴4∴所求概率為p＝＝.
三、解答題：解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟。
17.（本小題滿分12分）
已知函式f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)－1，x∈r，將函式f(x)的圖象向左平移個單位後得到圖象對應函式g(x)，設△abc三個角a、b、c的對邊分別為a、b、c.
(1)若c＝，f(c)＝0，sinb＝3sina，求a、b的值；
(2)若g(b)＝0且m＝(cosa，cosb)，n＝(1，sina－cosatanb)，求m·n的取值範圍．
[解析] (1)f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)－1
＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1.
f(c)＝sin(2c－)－1＝0，所以sin(2c－)＝1，
因為2c－∈(－，)，
所以2c－＝，所以c＝，
由餘弦定理知：a2＋b2－2abcos＝7，
因為sinb＝3sina，由正弦定理知：b＝3a，
解得a＝1，b＝3.
(2)由條件知g(x)＝sin(2x＋)－1，
所以g(b)＝sin(2b＋)－1＝0，
所以sin(2b＋)＝1，
因為2b＋∈(，)，所以2b＋＝，
即b＝，
m＝(cosa，)，n＝(1，sina－cosa)，
於是m·n＝cosa＋(sina－cosa)
＝cosa＋sina＝sin(a＋)，
∵b＝，∴a∈(0，π)，得a＋∈(，π)，
∴sin(a＋)∈(0,1]，即m·n∈(0,1]．
18.（本小題滿分12分）
隨機調查某社群80個人，以研究這一社群居民在20 00～22 00時間段的休閒方式與性別的關係，得到下面的資料表：
(1)將此樣本的頻率作為總體的概率估計，隨機調查3名在該社群的男性，設調查的3人在這一時間段以看書為休閒方式的人數為隨機變數x，求x的分布列和期望；
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