圓冪與根軸

圓冪與根軸，幾何綜合問題選講

圓冪點到圓的冪：設p為⊙o所在平面上任意一點，po=d，⊙o的半徑為r，則d2－r2就是點p對於⊙o的冪．過p任作一直線與⊙o交於點a、b，則pa·pb= |d2－r2|．

「到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線」這個結論．這條直線稱為兩圓的「根軸」．

三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交於一點，這一點稱為三圓的「根心」．

三個圓的根心對於三個圓等冪．

當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交於一點．

一、基本知識與性質

1．定義從一點a作一圓周的任一割線，從a起到和圓相交為止的兩段之積，稱為點a對於這圓周的冪．

2．相交弦定理圓內兩條相交弦，被交點p分成的兩條線段長的積相等（都等於屍對圓周的冪） .

3．切割線定理從圓外一點p引圓的切線和割線，切線長是點p到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（等於p對圓周的冪）.

4．圓冪定理已知⊙(o, r) ，通過一定點p，作⊙o的任一割線交圓於a, b，則pa，pb為p對於⊙o的冪，記為 k，則

當p在圓外時，k=po2-r2；

當p在圓內時，k= r2-po2；

當p在圓上時，k=0.

例1．如圖，設i和o分別是△abc的內心和外心，r和r分別是△abc的內切圓和外接圓半徑，過i作△abc外接圓的弦ak,

求證：( l ) ai·ik =2rr ; ( 2 )oi2=r2 -2rr

例2．如圖，設ad為rt△abc斜邊bc上的高，∠b的平分線交ad於m，交ac於 n，求證：ab2-an2=bm·bn .

例3．如圖, abcd為⊙o的內接四邊形，延長ab 和dc相交於e，延長ad和bc相交於f, ep和fq分別切⊙o於p，q，求證：ep2+fq2 =ef2

例4．如圖，圓與△abc的外接圓相切於點a，與邊ab交於點k，且和邊bc相交．過點c作圓γγ的切線，切點為l，連線kl，交邊bc於點t．求證：線段bt的長等於點 b 到圓γ的切線長．

例5．⊙o為△abc的外接圓，am, at分別為中線和角平分線，過點b, c作⊙o的切線相交於點p，連線ap，與bc和⊙o分別相交於點d , e .

求證：點t是△ame的內心．

例6．圓與圓相交於點 m , n ．設l是圓和圓γ的兩條公切線中距離m較近的那條公切線，l與圓相切於點a，與圓相切於點b．設經過m且與 l 平行的直線與圓另交於c，與圓另交於d，直線ac和bd相交於e, 直線an和cd交於p，直線 bn與cd交於q . 求證： ep=eq.

例7．如圖，已知銳角三角形abc，以ab為直徑的圓與ab邊的高線cc ' 及其延長線交於m, n，以ac為直徑的圓與ac邊上的高線bb ' 及其延長線交於p，q，求證：m, n , p，q四點共圓．

例 8．在△abc的中線 cd上取一點它，圓周s2經過點e，與直線ab相切於點a，且與邊ac相交於點m，圓周s2經過點e，與直線ab相切於點b，且與邊bc相交於n，求證：△cmn的外接圓與s1和s2都相切．