圓冪的定義
假設平面上有一圓o，其半徑為r，有一點p在圓o外，則op^2-r^2即為p點到圓o的冪；
若p點在圓內，則圓冪為r^2-op^2；
綜上所述，圓冪為|op^2-r^2|。
圓冪恆大於或等於零。
圓冪的由來
過任意在圓o外的一點p引一條直線l1與一條過圓心的直線l2，l1與圓交於a、b（可重合，即切線），l2與圓交於c、d。則pa·pb=pc·pd。若圓半徑為r，則pc·pd=(po-r)·(po+r)=po^2-r^2=|po^2-r^2| （要加絕對值，原因見下）為定值。
這個值稱為點p到圓o的冪。（事實上所有的過p點與圓相交的直線都滿足這個值）
若點p在圓內，類似可得定值為r^2-po^2=|po^2-r^2|
故平面上任意一點對於圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓於a、b，那麼pa·pb等於圓冪的絕對值。
圓冪定理
定理內容
過任意不在圓上的一點p引兩條直線l1、l2，l1與圓交於a、b（可重合，即切線），l2與圓交於c、d（可重合），則有
。[1]
圓冪定理的所有情況
考慮經過p點與圓心o的直線，設po交⊙o與m、n，r為圓的半徑，則有
圓冪定理的證明
圖ⅰ：相交弦定理。如圖，ab、cd為圓o的兩條任意弦。相交於點p，連線ab、bd，由於∠b與∠d同為弧ac所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠b=∠d，同理∠a=∠c，所以
。所以有：
，即：圖ⅱ：割線定理。如圖，連線ad、bc。可知∠b=∠d，又因為∠p為公共角，所以有
，同上證得
圖ⅲ：切割線定理。如圖，連線ac、ad。∠pac為切線pa與弦ac組成的弦切角，因此有∠pac=∠d，又因為∠p為公共角，所以有
易證圖ⅳ：pa、pc均為切線，則∠pao=∠pco=直角，在直角三角形中：oc=oa=r，po為公共邊，因此
所以pa=pc，所以
綜上可知，
是普遍成立的。證明完畢
7 1圓冪定理 題庫學生版
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V第二十三講圓冪定理 三
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