等分圓周是尺規作圖的一小部分的內容，把乙個圓周分成n等份，就可以作出圓內接或外切正n邊形，即有趣又實用的幾何作圖問題。
等分圓周分成兩大類的作圖法：一類是能用尺規準確作出一些等分圓周的問題，例如：二等分圓周、三等分圓周、四等分圓周、五等分圓周、六等分圓周、八等分圓周、十等分圓周、十二等分圓周、十七等分圓周等等；二類是不能用尺規準備作出等分圓周的問題，即用尺規等分圓周的近似作圖的問題，有四種方法能近似作出等分圓周，例如：
1、萊納基法；2、陀因皮耶法；3、改良法；4、對稱、對應中心投影法等等。
根據自己在讀大專時，已經學習過幾何作圖這本書，對這本書裡面的內容也掌握地比較好，再加上自己對作用也比較感興趣，另外在這學期，自己也學習本科開設的初等幾何研究的課程。所以自己對一些等分圓周的作圖還是掌握地比較好，現在介紹自己學習過的等分圓周的作圖。
一、能用尺規準確作出一些等分圓周的問題，而且這些作法的正確效能用平面幾何去證明。
1、二等分圓周的尺規作圖
例1、已知：乙個圓
求作：圓的二等分。
作法：(1)作圓o；
(2)作圓的直徑ab；
證明：因為角aob為180°，所以a、b是圓o的二等分點。
2、三等分圓周的尺規作圖
例2、已知：乙個圓
求作：圓的三等分。
作法：(1)作圓的直徑ad；
(2)以d為圓心、od為半徑作圓，交圓於b、c兩點；
(3)鏈結ab、ac、bc；則三角形abc為所求作圓的內接正三角形，即a、b、c圓的三等分。
證明：鏈結co、cd,由作圖可知圓o和圓d的半徑相等，從而有oc=od=cd=1/2ad,因為三角形是圓o的內接三角形，ad是圓o的直徑，所以三角形是直角三角形，所以角cad=30°；同理：角bad=30°，所以角bac=60°；又因為ad是圓o和圓d兩圓的圓心連線，cb是圓o和圓d的公共弦。
所以ad垂直平分cb；所以ab=ac;所以三角形是等邊三角形，即把圓三等分。
3、四等分圓周的尺規作圖
例3、已知：乙個圓
求作：圓的四等分。
作法：在二等分圓周的基礎上，再把每一等分弧所對的圓心角進行二等分，角的一平分線與圓弧的交點為所求的分點，這樣與二等分點便四等分圓周了。
4、五等分圓周的尺規作圖
例4、已知：乙個圓
求作：圓的五等分。
作法：(1)作圓o及其兩條互相垂直的直徑az、xy；
(2)作出半徑oy的中點m，以m為圓心、ma為半徑畫弧，交ox於n;
(3)以a為圓心、an為半徑畫弧，交弧ax於e;
(4)鏈結ae;則弧ae為圓o的一段五等分弧，角aoe是乙個圓角的五分之一。
證明：設圓的半徑為r，在直角三角形aon中，由上述的物邊形作圖可知：an平方=ao平方= on平方=ao平方+(am-om)平方；而ao=r,om=r/2,am=[r平方+(r/2)平方]開根號，所以an=1/2根號[10-2根號5]r.
又因為an=ae,所以ae= an=1/2根號[10-2根號5]r 是半徑為r的圓內接正五邊形的邊長，即把圓五等分。
5、六等分圓周的尺規作圖
例5、已知：乙個圓
求作：圓的六等分。
作法：(1)作圓o及其直徑ad；
(2)分別以a、d為圓心、以圓o為半徑oa為半徑畫弧交圓o於b、f、c、e四點；
(3)依次鏈結ab、bc、cd、de、ef、fa；則六邊形abcdef為所求作圓的內接六邊形，即a、b、c、d、e、f圓的六等分。
證明:鏈結ob、oc、oe、of，因為ab=oa=ab,所以角aob=60°，同理:角doe=角cod=角aof=60°。
因為角aod=180°，所以角boc=角eof=60°。所以角aob=角boc=角eof=角doe=角cod=60°。所以a、b、c、d、e、f圓的六等分。
6、八等分圓周的尺規作圖
例6、已知：乙個圓
求作：圓的八等分。
作法：(1)作圓o及其兩條互相垂直的直徑ac、bd；
(2)分別作角aob和角aod的平分以及它們的反向延長線交圓o於e、f和g、h；
(3) 則a、e、b、h、c、g、d、f圓的八等分點。
7、十等分圓周的尺規作圖
例7、已知：乙個圓
求作：圓的十等分。
作法：在五等分圓周的基礎上，再把每一等分弧所對的圓心角進行二等分，角的一平分線與圓弧的交點為所求的分點，這樣與二等分點便十等分圓周了。
8、十二等分圓周的尺規作圖
例7、已知：乙個圓
求作：圓的十二等分
作法：(1)作圓o及其兩條互相垂直的直徑ac、bd；
(2)分別以a、b、c、d為圓心，以oa為半徑作弧交圓o的八個點:e、f、g、h、q、p、m、n；則a、e、m、d、n、h、b、g、p、c、q、f十二個點便是圓的十二等分點。
9、十七等分圓周的尺規作圖
例7、已知：乙個圓
求作：圓的十七等分。
作法：(1)作圓o及其兩條互相垂直的直徑ac、bd；
(2)作點e,使eo=1/4ao,鏈結ce;
(3)作角ceb的平分線ef;
(4)作角feb的平分線eg,角co於p;
(5)作角geh=45°，交cd於q；
(6)以cq為直徑作圓，交ob於k；
(7)以p為圓心，pk為半徑作圓，交cd於l、m;
(8)分別過m、l作cd的垂線，交圓o於n、r;
(9)作弧nr的中點s,則弧sn為圓o的1/17弧；
(10)以s為起點，線段sn的長度在圓o圓周上順時針或逆時針擷取，便把圓o17等分。
二、不能用尺規準確作出等分圓周的問題，即用尺規近似作出等分圓周，而且這些作法的正確性不能用平面幾何去證明。
1、萊納基法
作法：(1)畫出圓o後，以直徑ab為一邊作出正三角形abc;
(2)在oa上取ap=2/nab;
(3)鏈結cp,交圓o 於m;
(4)則弧am可以近似地作為圓o的一段n等分弧；角moa可以近似地作為周角的1/n。
2、改良法
作法：(1)畫出圓o後，以直徑ab為一邊作出正三角形abc;
(2)在ab上取op=oq=2/noa；
(3)鏈結cp、cq並延長，使與圓o分別相交於m、n；
(4)則mn可以近似地作為圓o的一段n等分弧；角mon可以近似地作為周角的1/n。
以上是自己在學習過的基礎上總結出基本作圖的方法，這些只是有限個的等分圓周，不過只要掌握好一些基本作圖的方法，也能作出另一些的等分圓周的，例如，１、要作出十等分圓周，只要作出五等分圓周，再在五等分圓周的基礎上，再把每一等分弧所對的圓心角進行二等分，角的一平分線與圓弧的交點為所求的分點，這樣與二等分點便十等分圓周了。２、要作出二十四等分圓周，只要作出十二等分圓周，再在十二等分圓周的基礎上，再把每一等分弧所對的圓心角進行二等分，角的一平分線與圓弧的交點為所求的分點，這樣與二等分點便二十四等分圓周了，等等．．．，也可以利用這些作法，作出很多漂亮的圖案，例如：窗花圖案、五角星、建築中的瓷磚塊等等。
經過學習等分圓周的作法，發現尺規作圖很多的妙處！
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